Kardioida

malo

Kardioida je kriva linija koja je dobila ime po grčkoj riječi e καρδία ("srce"). Nastaje tako što pratimo tačku na kružnici koja se kotrlja oko fiksnog kruga istog prečnika. Specijalan slučaj je epicikloide kada obe kružnice imaju isti poluprečnik.

Jednačine

malo

Kriva data u polarnim koordinatama

${\displaystyle r=a\left(1-\cos \phi \right)}$

može se zapisati i na sljedeći način

${\displaystyle r=2b\left(1-\cos \phi \right)}$ jer je ${\displaystyle a=2b}$

u Dekartovim koordinatama

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})}$ ili

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})-2ax(x^{2}+y^{2})-a^{2}b^{2}=0}$

Parametarska jednačina

${\displaystyle x=acost(1-cost)}$

${\displaystyle y=asint(1-cost)}$

u kompleksnoj ravni to je ${\displaystyle z=a(2e^{it}-e^{2it})}$

Osobine

• Kardioida je algebarska kriva četvrtog reda.
• Ima samo jedan šiljak.
• Dužina jednoga kraka kardioide zadane formulom

${\displaystyle r=a\left(1-\cos \phi \right)}$ data je sa ${\displaystyle l=8a}$

Dokaz

${\displaystyle x(\theta )=\rho (\theta )cos(\theta )}$

${\displaystyle y(\theta )=\rho (\theta )sin(\theta )}$

${\displaystyle \int ||{\dot {\gamma }}(\theta )||d\theta =\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}d\theta }$, pa onda slijedi:

${\displaystyle {\sqrt {2}}a\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {1+cos\theta }}d\theta =2a\int _{0}^{2\pi }|cos{\frac {\theta }{2}}|d\theta =8a\left[sin{\frac {\theta }{2}}\right]_{0}^{\pi }=8a}$

• Površina jednoga dijela kardioide je:

${\displaystyle P=3a^{2}{\frac {\pi }{2}}}$

Dokaz

${\displaystyle \int dxdy=\int \rho d\rho d\theta }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\rho ^{2}d\theta ={\frac {1}{2}}a^{2}\int _{0}^{2\pi }(1-cos\theta )^{2}d\theta ={\frac {3}{2}}a^{2}\pi }$

Tangentni ugao ${\displaystyle \phi ={\frac {3t}{2}}}$

Optika

Kardioida koja se dobija refleksijom

U optici se kardioida dobija prilikom refleksije na površini kružnoga oblika.

Izvor

• Cardioid