Pandigitalni brojevi

U matematici, pandigitalni broj je cijeli broj koji sadrži svaku od cifri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 barem jednom (npr: 1223334444555567890).

Prvih nekoliko pandigitalnih brojeva su: 1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978

Desetocifreni pandigitalni broj je uvijek djeljiv s 9 zato što je

${\displaystyle \sum _{i=0}^{9}i=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45}$^[1]

Prema tome najmanji pandigitalni prosti broj mora imati 11 cifri od kojih se nula ne smije ponavljati dva puta.

Prvih nekoliko pandigitalnih prostih brojeva su: 10123457689, 10123465789, 10123465897, 10123485679

Ponekad se termin “pandigitalni broj” koristi samo za one brojeve koji ne sadrže dvije ili više istih cifri. U nekim slučajevima, broj se naziva pandigitalni iako nema nulu (takvi brojevi se još nazivaju “pandigitalni brojevi bez nule”).

Prvih nekoliko pandigitalnih brojeva bez nule su: 123456789, 123456798, 123456879, 123456897, 123456978, 123456987 Najmanji pandigitalni broj sa datom bazom ${\displaystyle b}$ je cijeli broj oblika

${\displaystyle b^{b-1}+\sum _{d=2}^{b-1}db^{b-1-d}}$ U sljedećoj tabelic navedeni su najmanji pandigitalni brojevi nekoliko odabranih baza:

Baza	najmanji pandigital	Vrijednosti u bazi 10
2	10	2
3	102	11
4	1023	75
8	10234567	2177399
10	1023456789	1023456789
Roman numerals	MCDXLIV	1444

Nekoliko pandigitalnih brojeva

• 123456789 - prvi pandigitalni broj bez nule
• 381654729 = jedini pandigitalni broj bez nule kod koga su prvih n cifri djeljivi sa n

3	djeljiv sa 1
38	djeljiv sa 2
381	djeljiv sa 3
3816	djeljiv sa 4
38165	djeljiv sa 5
381654	djeljiv sa 6
3816547	djeljiv sa 7
38165472	djeljiv sa 8
381654729	djeljiv sa 9

• 3816547290 = jedini pandigitalni broj sa nulom kod koga su prvih n cifri djeljivi sa n

3	djeljiv sa 1
38	djeljiv sa 2
381	djeljiv sa 3
3816	djeljiv sa 4
38165	djeljiv sa 5
381654	djeljiv sa 6
3816547	djeljiv sa 7
38165472	djeljiv sa 8
381654729	djeljiv sa 9
3816547290	djeljiv sa 10

• 987654321 = najveći pandigitalni broj bez nule i bez suvišnih cifri
• 1023456789 = prvi pandigitalni broj
• 1234567890 = prvi pandigitalni broj sa ciframa u nizu
• 3816547290 = jedini pandigitalni broj bez suvišnih cifri, gdje su prvih n cifri djeljivi sa n.
• 9876543210 = najveći pandigitalni broj bez suvišnih znamenki.
• 9814072356 = najveći pandigitalni broj bez suvišnih cifri (${\displaystyle 99066^{2}}$)
• 12345678987654321 = pandigitalni broj sa svim ciframa osim nule u uzlaznom i silaznom redoslijedom. To je kvadrat broja ${\displaystyle 111111111}$. Također je palindrom broj.

Pandigitalni razlomci

Pandigitalni razlomci su razlomci koji sadrže cifre od 1 do 9 tačno jednom.

${\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {5832}{17496}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {8174}{65392}}}$^[2]

Računanje pomoću pandigitalnih brojeva

• ${\displaystyle 21345^{2}+8796^{2}=532978641}$
• ${\displaystyle 2538^{2}+17649^{2}=2943^{2}+17586^{2}=317928645}$
• ${\displaystyle 539^{3}+246^{3}+718^{3}=541623987}$
• ${\displaystyle 539^{3}+462^{3}+718^{3}=625348179}$
• ${\displaystyle 27^{4}+35^{4}+68^{4}+149^{4}=516297843}$
• ${\displaystyle 27^{4}+35^{4}+86^{4}+149^{4}=549617283}$
• ${\displaystyle 9^{5}+17^{5}+26^{5}+43^{5}+58^{5}=816725493}$

${\displaystyle P=2=>=A^{2}+B^{2}}$^[3]

Postoji 78 ovakvih parova brojeva A i B. 5 parova brojeva koji se javljaju više od jednom rješenju

${\displaystyle 5376^{2}+12984^{2}=197485632}$

${\displaystyle 5376^{2}+18429^{2}=368529417}$

${\displaystyle 6471^{2}+23589^{2}=598314762}$

${\displaystyle 6471^{2}+29538^{2}=914367285}$

${\displaystyle 7659^{2}+13248^{2}=234169785}$

${\displaystyle 7659^{2}+13428^{2}=238971465}$

${\displaystyle 8796^{2}+21345^{2}=532978641}$

${\displaystyle 8796^{2}+23541^{2}=631548297}$

${\displaystyle 8793^{2}+12546^{2}=234718965}$

${\displaystyle 8973^{2}+12546^{2}=237916845}$

Slično

${\displaystyle P=p=>A^{p}+B^{p}+C^{p}+D^{p}+E^{p}+F^{p}+...=N}$

Izvor

• Pandigital Number
• Pandigital Fraction
• The Nine Digits Page with some Ten Digits (pandigital) exceptions

Reference

1. A050278
2. Pandigital Fraction
3. Poznati rezultati