Pravilo derivacije složene funkcije

U kalkulusu, pravilo derivacije složene funkcije je formula za derivaciju kompozicije dvije funkcije.

U intuitivnim uvjetima, ako varijabla y zavisi od druge varijable u, koja, na kraju, zavisi od treće varijable x, tada se način promjene y o odnosu na x može izračunati kao promjena y o odnosu na u pomnoženo sa načinom promjene u u odnosu na x. Jednostavnije rečeno, derivacija složene funikcije računa se tako da se pomnoži derivacija glavne funkcije sa derivacijom podfunkcije unutar te glavne funkcije (pogledajte primjer I).

Definicija

Pravilo derivacija složene funkcije kaže da je

${\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x),\,}$

koje se kraće piše u formi ${\displaystyle (f\circ g)'=f'\circ g\cdot g'}$.

Alternativno, u Leibnizovoj notaciji, pravilo derivacije složene funkcije je

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}.}$

U integraciji, nasuprot pravilu derivacije složene funkcije, stoji pravilo substitucije.

Dokaz pravila derivacije složene funkcije

Neka f i g budu funkcije i neka x bude broj takav da je f idiferencijabilna kod g(x) i da je g diferencijabilno kod x. Tada je definicija diferencijabilnosti,

${\displaystyle g(x+\delta )-g(x)=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta \,}$

gdje ε(δ) → 0 kada δ → 0. Slično,

${\displaystyle f(g(x)+\alpha )-f(g(x))=\alpha f'(g(x))+\eta (\alpha )\alpha \,}$

gdje η(α) → 0 kada α → 0. Također definišimo^[1] da je

${\displaystyle \eta (0)=0\,}$

Sada je

${\displaystyle f(g(x+\delta ))-f(g(x))\,}$	${\displaystyle =f(g(x)+\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta )-f(g(x))\,}$
	${\displaystyle =\alpha _{\delta }f'(g(x))+\eta (\alpha _{\delta })\alpha _{\delta }\,}$

gdje je

${\displaystyle \alpha _{\delta }=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta .\,}$

Uočite da kada δ → 0, α_δ/δ → g′(x) i α_δ → 0, te zbog toga η(α_δ) → 0. Slijedi da je

${\displaystyle {\frac {f(g(x+\delta ))-f(g(x))}{\delta }}\to g'(x)f'(g(x)){\mbox{ as }}\delta \to 0.}$

Primjeri

Primjer I

Razmotrimo ${\displaystyle f(x)=(x^{2}+1)^{3}}$. Imamo ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ gdje je ${\displaystyle g(x)=x^{2}+1}$ i ${\displaystyle h(x)=x^{3}.}$ Zbog toga,

${\displaystyle f'(x)\,}$	${\displaystyle =3(x^{2}+1)^{2}(2x)\,}$
	${\displaystyle =6x(x^{2}+1)^{2}.\,}$

Kako bi diferencirali trigonometrijsku funkciju

${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}),\,}$

možemo pisati ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ sa ${\displaystyle h(x)=\sin x}$ i ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$. Tada dobijamo

${\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})\,}$

pošto je ${\displaystyle h'(g(x))=\cos(x^{2})}$ i ${\displaystyle g'(x)=2x}$.

Primjer II

Difercencirajmo ${\displaystyle \arctan \,\sin \,x}$, itd.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,x\,=\,{\frac {1}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,f(x)\,=\,{\frac {f'(x)}{1+f^{2}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,\sin \,x\,=\,{\frac {\cos \,x}{1+\sin ^{2}\,x}}}$

Reference

1. Da bismo uočili da je ovo potrebno, pretpostavite, na pruimjer, da je g konstantna funkcija.

Također pogledajte

• Pravilo inverzne derivacije složene funkcije
• Pravilo derivacije trostrukog proizvoda
• Derivacija
• Leibnizovo integraciono pravilo
• Leibnizovo pravilo (uopćeno pravilo derivacije proizvoda)