Sedenion

U apstraktnoj algebri, sedenioni formiraju 16-dimenzionalnu neasocijativnu algebru preko realnih brojeva dobiveno primjenjivanjem Cayley-Dickson konstrukcije na oktonione. Skup sedeniona se označava kao ${\displaystyle \mathbb {S} }$.

Izraz "sedenion" je također korišten za ostale 16-dimenzionalne algebarske strukture kao tenzor proizvod dva primjerka kvaterniona, ili kao algebra od 4 sa 4 matrice preko realnih brojeva.

Cayley–Dickson Sedenioni

Aritmetika

Množenje Cayley-Dickson sedeniona nije ni komutativno ni asocijativno, isto kao što je i slučaj kod (Cayley–Dickson) oktoniona. Za razliku od oktoniona, sedenioni čak nemaju ni svojstvo da su alternativni. Međutim, oni imaju svojstvo moćne asocijativnosti koja se može navesti kao svaki elemenat x iz ${\displaystyle \mathbb {S} }$ gdje je eksponent ${\displaystyle x^{n}}$ dobro definiran.

Svaki sedenion je realna linearna kombinacija jedinica sedeniona 1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇, e₈, e₉, e₁₀, e₁₁, e₁₂, e₁₃, e₁₄ i e₁₅, koji formiraju osnovni vektor prostor sedeniona.

Sedenioni imaju multiplikativni neutralni element 1 i multiplikativne inverzije, ali oni nisu algebra podjele. Ovo je zato što oni imaju nulni dijelitelj, što znači da se dva broja koja nisu nula mogu pomnožiti da se dobije nula kao rezultat. Jednostavan primjer ovoga je (e₃ + e₁₀)×(e₆ − e₁₅).

Tablica množenja ovih jediničnih sedeniona je sljedeća:

×	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	e11	e12	e13	e14	e15
1	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	e8	e9	e10	e11	e12	e13	e14	e15
e1	e1	−1	e3	−e2	e5	−e4	−e7	e6	e9	−e8	−e11	e10	−e13	e12	e15	−e14
e2	e2	−e3	−1	e1	e6	e7	−e4	−e5	e10	e11	−e8	−e9	−e14	−e15	e12	e13
e3	e3	e2	−e1	−1	e7	−e6	e5	−e4	e11	−e10	e9	−e8	−e15	e14	−e13	e12
e4	e4	−e5	−e6	−e7	−1	e1	e2	e3	e12	e13	e14	e15	−e8	−e9	−e10	−e11
e5	e5	e4	−e7	e6	−e1	−1	−e3	e2	e13	−e12	e15	−e14	e9	−e8	e11	−e10
e6	e6	e7	e4	−e5	−e2	e3	−1	−e1	e14	−e15	−e12	e13	e10	−e11	−e8	e9
e7	e7	−e6	e5	e4	−e3	−e2	e1	−1	e15	e14	−e13	−e12	e11	e10	−e9	−e8
e8	e8	−e9	−e10	−e11	−e12	−e13	−e14	−e15	−1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e9	e9	e8	−e11	e10	−e13	e12	e15	−e14	−e1	−1	−e3	e2	−e5	e4	e7	−e6
e10	e10	e11	e8	−e9	−e14	−e15	e12	e13	−e2	e3	−1	−e1	−e6	−e7	e4	e5
e11	e11	−e10	e9	e8	−e15	e14	−e13	e12	−e3	−e2	e1	−1	−e7	e6	−e5	e4
e12	e12	e13	e14	e15	e8	−e9	−e10	−e11	−e4	e5	e6	e7	−1	−e1	−e2	−e3
e13	e13	−e12	e15	−e14	e9	e8	e11	−e10	−e5	−e4	e7	−e6	e1	−1	e3	−e2
e14	e14	−e15	−e12	e13	e10	−e11	e8	e9	−e6	−e7	−e4	e5	e2	−e3	−1	e1
e15	e15	e14	−e13	−e12	e11	e10	−e9	e8	−e7	e6	−e5	−e4	e3	e2	−e1	−1

Također pogledajte

• Hiperkompleksan broj
• Hiperboličan broj

Reference

• (en) Imaeda, K.; Imaeda, M. (2000), "Sedenions: algebra and analysis", Applied mathematics and computation, 115 (2): 77–88, MR 1786945
• (en) Kinyon, M.K., Phillips, J.D., Vojtěchovský, P.: C-loops: Extensions and constructions, Journal of Algebra and its Applications 6 (2007), no. 1, 1–20. [1]
• (en) Kivunge, Benard M. and Smith, Jonathan D. H: "Subloops of sedenions Arhivirano 5. 6. 2011. na Wayback Machine", Comment.Math.Univ.Carolinae 45,2 (2004)295–302.
• (en) Moreno, Guillermo (1998), "The zero divisors of the Cayley-Dickson algebras over the real numbers", Sociedad Matemática Mexicana. Boletí n. Tercera Serie, 4 (1): 13–28, arXiv:q-alg/9710013, MR 1625585
• (en) Smith, Jonathan D. H. (1995), "A left loop on the 15-sphere", Journal of Algebra, 176 (1): 128–138, MR 1345298