Srebrni rez

Spisak brojeva - Iracionalni brojevi ζ(3) - √2 - φ - √3 - √5 - ${\displaystyle \delta _{S}}$ - α - e - π - δ
Binarni	10.0110101000001001111...
Decimalni	2,4142135623730950488...
Heksadecimalni	2.6A09E667F3BCC908B2F...
Neprekidni razlomak	${\displaystyle 2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}}$

Srebreni rez je matematička konstanta. Njegov naziv je aluzija zlatnom rezu; analogno, kako je zlatni rez granični omjer susjednih Fibonaccijevih brojeva, srebreni rez je granični omjer susjednih Pellovih brojeva. Naziv srebreni broj se, također, ponekad koristi kada se misli na plastični broj, granični omjer susjednih Perrinovih brojeva, te od Padovanovog niza.

Definicija

Definicija kada je 1 plus kvadratni korijen od 2

Srebreni rez (${\displaystyle \delta _{S}}$) je definisan kao iracionalan broj koji nastaje sumom broja 1 i kvadratnog korijena od 2.To jest:

${\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2.414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,210}$

Iz ove definicije slijedi da je

${\displaystyle (\delta _{S}-1)^{2}=2\,.}$

Osobine

Stepeni srebrenog reza

Niži stepeni srebrenog reza su:

${\displaystyle \!\ \delta _{S}^{0}=1}$

${\displaystyle \delta _{S}^{1}=\delta _{S}+0}$

${\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1}$

${\displaystyle \delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2}$

${\displaystyle \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5}$

Stepeni se nastavljaju dalje po obrascu:

${\displaystyle \!\ \delta _{S}^{n}=K_{n}\delta _{S}+K_{(n-1)}}$

gdje je

${\displaystyle \!\ K_{n}=2K_{(n-1)}+K_{(n-2)}}$

Na primjer, koristeći ovu osobinu:

${\displaystyle \!\ \delta _{S}^{5}=29\delta _{S}+12}$

Koristeći ${\displaystyle \!\ K_{0}=1}$ i ${\displaystyle \!\ K_{1}=2}$ kao početne uslove, dobijamo formulu sličnu Binetovoj, koja slijedi iz ponavljajuće relacije

${\displaystyle \!\ K_{n}=2K_{(n-1)}+K_{(n-2)}}$

koja postaje

${\displaystyle \!\ K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{(\delta _{S}^{n+1}-{(2-\delta _{S})}^{n+1})}}$

Trigonometrijske osobine

Pogledajte članak Tačne trigonometrijske konstante

Srebreni rez je direktno povezan sa nekoliko trigonometrijskih omjera:

${\displaystyle \textstyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle \textstyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle \textstyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1}$

${\displaystyle \textstyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1}$

Dalje, jedna od formula za površinu pravilnog oktagona sa stranicom dužine a je data sa

${\displaystyle A=\textstyle 2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\simeq 4.828427a^{2}.}$

Reference

Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

Vanjski linkovi

• Eric W. Weisstein, Silver Ratio na MathWorld-u.
• Explanation of Silver Means