Algorisme de Borwein

L'algorisme de Borwein és un algorisme desenvolupat per Jonathan i Peter Borwein que permet el càlcul d'1/π.^[1]

Es procedeix de la forma següent:^[2]

Es comença amb els valors

${\displaystyle a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1}$

Després s'itera amb les fórmules següents:

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {1-(1-y_{k}^{4})^{1/4}}{1+(1-y_{k}^{4})^{1/4}}}}$

${\displaystyle a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}$

_k posseeix una convergència quártica 1/π; és a dir, en cada iteració es multiplica per quatre, aproximadament, el nombre de dígits correcte.

El grau de convergència s'obté de la següent desigualtat:

${\displaystyle \left|{\frac {1}{\pi }}-a_{n}\right|<=16\;(4^{n})(e^{-2\pi 4^{n}})}$

Referències

1. Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Pi and the AGM – A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Wiley, New York, 1987. Many of their results are available in: Jorg Arndt, Christoph Haenel, Pi Unleashed, Springer, Berlin, 2001, ISBN 3-540-66572-2
2. Mak, Ronald. The Java Programmers Guide to Numerical Computation. Pearson Educational, 2003, p. 353. ISBN 0-13-046041-9.