Aresta (geometria)

Una aresta entre dos vèrtexs.

En geometria, una aresta és un segment lineal de dimensió 1 que uneix dos vèrtexs de dimensió zero en un polígon, un políedre, o més en general un polítop.^[1] En dimensió 1 la mateixa aresta és el mateix polítop. Una successió plana i tancada d'arestes forma un polígon que és un polítop de dimensió 2. En aquest cas de cada aresta se'n diu costat del polígon. Les cares dels polítops de dimensió tres o superior són formades per successions planes i tancades d'arestes.

Relació amb les arestes dels grafs

Tres arestes AB, BC i CA, cadascuna entre dos vèrtexs d'un triangle.	Un polígon està envoltat per arestes; aquest quadrat té 4 arestes.
Tota aresta forma part de dues cares en un políedre, com en aquest cub.	Tota aresta forma part de tres o més cares en un 4-politop, com es veu en aquesta projecció d'un polícor.[2]

En teoria de grafs, una aresta és un objecte abstracta que connecta dos vèrtexs, al contrari que les arestes dels polígons i políedres, que tenen una representació geomètrica concreta com un segment de recta. Tot i això, qualsevol políedre es pot representar pel seu esquelet o esquelet d'arestes, un graf que té com a vèrtexs els vèrtexs geomètrics del políedre, i que té com a arestes les arestes geomètriques.^[3] Recíprocament, els grafs que són esquelets de políedres tridimensionals es poden caracteritzar pel teorema de Steinitz, essent exactament els grafs planars 3-vèrtex-connexos.^[4]

Nombre d'arestes d'un políedre

La superfície de qualsevol políedre convex té característica d'Euler

${\displaystyle V-E+F=2}$

La lletra "V" és el nombre de [Vèrtex (geometria)|vèrtexs], "E" és el nombre d'arestes, i "F" és el nombre de cares. Aquesta equació es coneix amb el nom de relació d'Euler. Així, el nombre d'arestes és 2 unitats menor que la suma del nombre de vèrtexs i de cares. Per exemple, un cub té 8 vèrtexs i 6 cares i, per tant, 12 arestes.

Incidències amb altres cares

En un polígon, dues arestes es troben en cada vèrtex; més en general, pel teorema de Balinski, almenys d arestes es troben a cada vèrtex d'un polítop convex de dimensió d.^[5] De manera semblant, en un políedre, exactament dues cares bidimensionals es troben a cada aresta,^[6] mentre que, en polítops de dimensió superior, tres o més cares bidimensionals es troben a cada aresta.

Referències

1. Ziegler, Günter M. Lectures on Polytopes. 152. Springer, 1995. 
2. Seidel, Raimund. Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), 1986, p. 404–413. DOI 10.1145/12130.12172. «Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face» 
3. Senechal, Marjorie. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination. Springer, 2013, p. 81. ISBN 9780387927145. 
4. Pisanski, Tomaž; Randić, Milan. Geometry at work. 53. Washington, DC: Math. Assoc. America, 2000, p. 174–194. «Bridges between geometry and graph theory» . Vegeu en particular el Teorema 3, p. 176.
5. Balinski, M. L. «On the graph structure of convex polyhedra in n-space». Pacific Journal of Mathematics, 11, 2, 1961, p. 431–434. DOI: 10.2140/pjm.1961.11.431.
6. Wenninger, Magnus J. Polyhedron Models. Cambridge University Press, 1974, p. 1. ISBN 9780521098595. 

Enllaços externs

• Edge at Glossary for Hyperspace
• Polygonal edge at MathWorld Eric W. Weisstein.
• Polyhedral edge at MathWorld Eric W. Weisstein