Corba de Gosper

La corba de Gosper, també coneguda com corba de Peano-Gosper, és una corba fractal contínua descrita per Bill Gosper. En anglès també és anomenada Flowsnake, pel joc de paraules amb la paraula Snowflake (floc de neu). Forma part d'un grup de fractals auto-similars de recobriment del pla basats en la corba de Peano.[1]

Descripció

[modifica]

La corba de Gosper utilitza una graella hexagonal, a diferència de la majoria de corbes de recobriment del pla, que utilitzen graelles rectangulars o triangulars.[2]

Primera iteració Quarta iteració
La línia que uneix el punt vermell amb el verd mostra un sol pas de la construcció de la corba.
Quarta iteració de la corba de Gosper.

Programació

[modifica]

Aquí es mostra un programa en Logo per a dibuixar la corba de Gosper mitjançant gràfics de tortuga: 

to rg :st :ln
 make "st :st - 1
 make "ln :ln / 2.6457
 if :st > 0 [rg :st :ln rt 60 gl :st :ln rt 120 gl :st :ln lt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln rg :st :ln lt 60 gl :st :ln rt 60]
 if :st = 0 [fd :ln rt 60 fd :ln rt 120 fd :ln lt 60 fd :ln lt 120 fd :ln fd :ln lt 60 fd :ln rt 60]
end

to gl :st :ln
 make "st :st - 1
 make "ln :ln / 2.6457
 if :st > 0 [lt 60 rg :st :ln rt 60 gl :st :ln gl :st :ln rt 120 gl :st :ln rt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln lt 60 gl :st :ln]
 if :st = 0 [lt 60 fd :ln rt 60 fd :ln fd :ln rt 120 fd :ln rt 60 fd :ln lt 120 fd :ln lt 60 fd :ln]
end

El programa pot ser activat, per exemple, amb rg 4 300, o alternativament amb gl 4 300.

La constant 2,6457 utilitzada en el codi del programa és una aproximació de l'arrel quadrada de 7.

Propietats

[modifica]

L'espai cobert per la corba s'anomena illa de Gosper. Aquí es mostren les primeres iteracions d'aquest fractal.

Illa de Gosper 0 Illa de Gosper 1 Illa de Gosper 2 Illa de Gosper 3 Illa de Gosper 4

L'illa de Gosper pot cobrir completament el pla. De fet, es poden unir entre si set còpies de l'illa de Gosper per a formar una figura similar però de mida √7 vegades major en les dues dimensions del plànol. Iterant aquest procés indefinidament, s'aconsegueix una tesselació del plànol. De fet anàleg, es pot estendre l'illa de Gosper a una corba infinita que cobreixi el plànol.

Tesselació Tesselació

Vegeu també

[modifica]

Referències

[modifica]
  1. ↑ Fukuda, Hiroshi; Shimizu, Michio; Nakamura, Gisaku. «New Gosper Space Filling Curves». University of Shizuoka. Arxivat de l'original el 2007. [Consulta: 18 març 2020].
  2. ↑ Uher, V; Gajdos, P; Snásel, V; Lai, YC; Radecky, M «Hierarchical Hexagonal Clustering and Indexing». MDPI, 2019.

Enllaços externs

[modifica]
  • Fractal de Gosper a Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (francès)
  • Gosper Island (anglès)
  • Una paradoja fractal (castellà)