Desigualtat de Bessel

En matemàtiques, especialment en anàlisi funcional, la desigualtat de Bessel és una proposició sobre els coeficients d'un element ${\displaystyle x}$ en un espai de Hilbert respecte a una successió ortonormal.

Sigui ${\displaystyle H}$ un espai de Hilbert, i suposi's que ${\displaystyle e_{1},e_{2},...}$ és una seqüència ortonormal en ${\displaystyle H}$. Llavors, per a tot ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle H}$ es compleix que

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}$

on <·, ·> denota el producte interior en l'espai de Hilbert ${\displaystyle H}$.^[1][2][3] Si es defineix la suma infinita

${\displaystyle X'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},}$

la desigualtat de Bessel ens diu que aquesta sèrie matemàtica convergeix.

Per a una successió ortonormal completa (és a dir, per una successió ortonormal que alhora és una base ortonormal de ${\displaystyle H}$), hom té la identitat de Parseval, que reemplaça la desigualtat per una igualtat (i conseqüentment ${\displaystyle x'}$ amb ${\displaystyle x}$).

En àlgebra lineal la desigualtat de Bessel estipula que donat un espai vectorial V amb producte interior definit, donada ${\displaystyle \beta =\{\beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n}\}}$ un subconjunt ortonormal de V, es compleix que per a tot x de V:

${\displaystyle \lVert x\lVert ^{2}\geq \sum _{i=1}^{n}\|\langle x,\beta _{i}\rangle \|^{2}}$.

Referències

1. Saxe, Karen. Beginning Functional Analysis (en anglès). Springer Science & Business Media, 07-12-2001, p. 82. ISBN 9780387952246. 
2. Zorich, Vladimir A.; Cooke, R. Mathematical Analysis II (en anglès). Springer Science & Business Media, 22-01-2004, p. 508–509. ISBN 9783540406334. 
3. Vetterli, Martin; Kovačević, Jelena; Goyal, Vivek K. Foundations of Signal Processing (en anglès). Cambridge University Press, 04-09-2014, p. 83. ISBN 9781139916578.