En matemàtiques, la desigualtat de Landau-Kolmogorov, anomenada així pels matemàtics Edmund Landau i Andrey Kolmogorov, és la següent família de desigualtats d'interpolació entre diferents derivades d'una funció f definida en un subconjunt T dels nombres reals:[1]
![{\displaystyle \|f^{(k)}\|_{L_{\infty }(T)}\leq C(n,k,T){\|f\|_{L_{\infty }(T)}}^{1-k/n}{\|f^{(n)}\|_{L_{\infty }(T)}}^{k/n}{\text{ per a }}1\leq k<n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c5455c9213a2c100a16c8188a6338074757429)
Per a k = 1, n = 2, T=R la desigualtat va ser provada per primera vegada per Edmund Landau[2] amb la constant aguda C(2, 1, R) = 2. Després de les contribucions de Jacques Hadamard i Georgiy Shilov, Andrey Kolmogorov va trobar constants i arbitràries n, k:[3]
![{\displaystyle C(n,k,\mathbb {R} )=a_{n-k}a_{n}^{-1+k/n}~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ab3dde5a08905d3e65b75c6a8f91af52166dbd)
on an és la constant de Favard.
Després del treball de Matorin et al, les funcions extremistes van ser trobades per Isaac Schoenberg,[4] tanmateix, encara es desconeixen formes explícites per a les constants agudes.
Generalitzacions[modifica]
Hi ha moltes generalitzacions, que són de la forma
![{\displaystyle \|f^{(k)}\|_{L_{q}(T)}\leq K\cdot {\|f\|_{L_{p}(T)}^{\alpha }}\cdot {\|f^{(n)}\|_{L_{r}(T)}^{1-\alpha }}{\text{ per a }}1\leq k<n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de17d5bf9a08ac10968ed18f0f7bfc57044e5d4)
Aquí les tres normes poden ser diferents entre elles (de L1 fins a L∞, amb p=q=r=∞ en el cas clàssic) i T pot ser l'eix real, semi-eix o un segment tancat.
La desigualtat de Kallman-Rota generalitza les desigualtats de Landau-Kolmogorov des de l'operador derivat fins a contraccions més generals en els espais de Banach.[5]
- ↑ Weisstein, E.W. «Landau-Kolmogorov Constants». MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ↑ Landau, E. «Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktionen». Proc. London Math. Soc., 13, 1913, pàg. 43–49. DOI: 10.1112/plms/s2-13.1.43.
- ↑ Kolmogorov, A. «On Inequalities Between the Upper Bounds of the Successive Derivatives of an Arbitrary Function on an Infinite Integral». Amer. Math. Soc. Transl., 1962, pàg. 233–243.
- ↑ Schoenberg, I.J. «The Elementary Case of Landau's Problem of Inequalities Between Derivatives.». Amer. Math. Monthly, 80, 1973, pàg. 121–158. DOI: 10.2307/2318373.
- ↑ Kallman, Robert R.; Rota, Gian-Carlo. Inequalities, II (Proc. Second Sympos., U.S. Air Force Acad., Colo., 1967). Nova York: Academic Press, 1970, p. 187–192. «On the inequality
»