Desigualtat de Maclaurin

En matemàtiques, la desigualtat de Maclaurin, que rep el nom del matemàtic escocès Colin Maclaurin, és un refinament de la desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica.

Siguin $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ nombres reals positius qualsevols, per $k=1,2,\dots ,n$ definim les mitjanes $S_{k}$ com:

S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}.

El numerador d'aquesta fracció és el polinomi simètric elemental de grau k en les n variables $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ , és a dir, la suma de tots els productes de k nombres escollits de $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ . El denominador és el nombre de termes del numerador, que s'expressa amb el coeficient binomial $n \choose k$ .

La desigualtat de Maclaurin és la següent cadena de desigualtats:

S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geq \cdots \geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}

amb igualtat si i només si tots els $a_{i}$ són iguals.

Per n = 2, això dona la desigualtat habitual entre les mitjanes aritmètica i geomètrica de dos nombres. El refinament que aporta Maclaurin a aquesta desigualtat es pot observar per exemple pel cas de n = 4:

{\begin{aligned}&{}\quad {\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\\[8pt]&{}\geq {\sqrt {\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}+a_{2}a_{4}+a_{3}a_{4}}{6}}}\\[8pt]&{}\geq {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}}{4}}}\\[8pt]&{}\geq {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}.\end{aligned}}

La desigualtat de Maclaurin es pot provar utilitzant les desigualtats de Newton.

Referències

Biler, Piotr. Problems in mathematical analysis. New York, N.Y.: M. Dekker, 1990. ISBN 0-8247-8312-3.

Aquest article incorpora material sobre la Desigualtat de Maclaurin de PlanetMath, que es troba sota la llicència Creative Commons Reconeixement/Compartir igual (by-sa).