Desigualtat de Turán

En matemàtiques, les desigualtats de Turán són algunes desigualtats per als polinomis de Legendre trobats per Turán (1950)^[1] (i publicats per primera vegada per Szegö (1948).^[2]

Si P_n és el n-èsim polinomi de Legendre, les desigualtats de Turán són:

${\displaystyle \,\!P_{n}(x)^{2}>P_{n-1}(x)P_{n+1}(x){\text{ per a }}-1<x<1.}$

Hi ha moltes generalitzacions a altres polinomis, sovint anomenades desigualtats de Turán, donats per Beckenbach i Seidel (1951).^[3]

Si H_n és el n-èsim polinomi d'Hermite, les desigualtats de Turán són:

${\displaystyle H_{n}(x)^{2}-H_{n-1}(x)H_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}H_{i}(x)^{2}>0~,}$

Si T_n és el n-èsim polinomi de Txebixov, les desigualtats de Turán són:

${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0{\text{ per a }}-1<x<1~.}$

Referències

1. Turán, Paul «On the zeros of the polynomials of Legendre». Časopis Pěst. Mat. Fys., 75, 1950, pàg. 113–122.
2. Szegö, G. «On an inequality of P. Turán concerning Legendre polynomials». Bull. Amer. Math. Soc., 54(4), 1948, pàg. 401–405. DOI: 10.1090/S0002-9904-1948-09017-6.
3. Beckenbach, E. F.; Seidel, W.; Szász, Otto «Recurrent determinants of Legendre and of ultraspherical polynomials» (en anglès). Duke Math. J., 18, 1951, pàg. 1–10. DOI: 10.1215/S0012-7094-51-01801-7.

Vegeu també

• Desigualtat d'Askey-Gasper
• Teorema de Sturm