Desigualtats de Clarkson

En matemàtiques, les desigualtats de Clarkson, que porten el nom de James A. Clarkson, són resultats de la teoria dels espais L^p. Donen límits per a les normes L^p de la suma i la diferència de dues funcions mesurables a L^p en termes de les normes L^p d'aquestes funcions individualment.

Declaració de les desigualtats

Fem que (X, Σ, μ) sigui un espai de mesura; fem que f, g: X → R siguin funcions mesurables en L^p. Llavors, per a 2 ≤ p < +∞,

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right).}$

Per a 1 < p < 2,

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}},}$

on

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$

per exemple, q = p ⁄ (p − 1).

El cas p ≥ 2 és una mica més fàcil de demostrar, ja que és una simple aplicació de la desigualtat triangular i la convexitat de

${\displaystyle x\mapsto x^{p}.}$

Referències

• Clarkson, James A «Uniformly convex spaces» (en anglès). Transactions of the American Mathematical Society, 40(3), 1936, pàg. 396–414. DOI: 10.2307/1989630.
• Hanner, Olof «On the uniform convexity of L^p and ℓ^p» (en anglès). Arkiv för Matematik, 3(3), 1956, pàg. 239–244. DOI: 10.1007/BF02589410.
• Friedrichs, K. O «On Clarkson's inequalities» (en anglès). Communications on Pure and Applied Mathematics, 23, 1970, pàg. 603–607. DOI: 10.1002/cpa.3160230405.

Enllaços externs

• «Clarkson Inequality» (en anglès). Planet Math.