Distribució de Burr

Distribució de Burr de tipus XII

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua i distribució de Champernowne
Paràmetres	${\displaystyle c>0\!}$ ${\displaystyle k>0\!}$
Suport	${\displaystyle x>0\!}$
fdp	${\displaystyle ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\!}$
FD	${\displaystyle 1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle \mu _{1}=k\operatorname {\mathrm {B} } (k-1/c,\,1+1/c)}$ on Β() és la funció beta
Mediana	${\displaystyle \left(2^{\frac {1}{k}}-1\right)^{\frac {1}{c}}}$
Moda	${\displaystyle \left({\frac {c-1}{kc+1}}\right)^{\frac {1}{c}}}$
Variància	${\displaystyle -\mu _{1}^{2}+\mu _{2}}$
Coeficient de simetria	${\displaystyle 2\mu _{1}^{3}-3\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{3}}$
Curtosi	${\displaystyle -3\mu _{1}^{4}+6\mu _{1}^{2}\mu _{2}-4\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{4}}$ on els moments (vegeu) ${\displaystyle \mu _{r}=k\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {ck-r}{c}},\,{\frac {c+r}{c}}\right)}$

En teoria de la probabilitat, estadística i econometria, la distribució de Burr de tipus XII, o simplement la distribució de Burr^[1] és una distribució de probabilitat contínua d'una variable aleatòria no negativa. També es coneix com la distribució de Singh-Maddala^[2] i és una de les diferents distribucions que de vegades s'anomenen «distribució log-logística generalitzada».

Si X segueix una distribució de Burr, s'escriurà ${\displaystyle X\sim SM(c,k)}$.

La distribució de Burr té la funció de densitat de probabilitat:^[3][4]

${\displaystyle f(x;c,k)={\begin{cases}ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle f(x;c,k,\lambda )={\frac {ck}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$

i la funció de distribució acumulada (FD):

${\displaystyle F(x;c,k)={\begin{cases}1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle F(x;c,k,\lambda )=1-\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k}}$

Si c=1, llavors la distribució de Burr es converteix en la distribució de Pareto de tipus II.

Quan k=1, la distribució de Burr és un cas especial de la distribució de Champernowne.^[5][6]

La distribució de Burr tipus XII és un membre d'un sistema de distribucions contínues introduïdes per Irving W. Burr (1942), que comprenen 12 distribucions.^[7]

Referències

1. Burr, I. W. «Cumulative frequency functions». Annals of Mathematical Statistics, 13, 2, 1942, pàg. 215-232. DOI: 10.1214/aoms/1177731607. JSTOR: 2235756.
2. Singh, S.; Maddala, G. «A Function for the Size Distribution of Incomes». Econometrica, 44, 5, 1976, pàg. 963–970. JSTOR: 1911538.
3. Maddala, G. S.. Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-33825-5. 
4. Tadikamalla, Pandu R. «A Look at the Burr and Related Distributions». International Statistical Review, 48, 3, 1980, p. 337–344. DOI: 10.2307/1402945.
5. C. Kleiber and S. Kotz. Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences. Nova York: Wiley, 2003.  See Sections 7.3 "Champernowne Distribution" and 6.4.1 "Fisk Distribution."
6. Champernowne, D. G. «The graduation of income distributions». Econometrica, 20, 4, 1952, pàg. 591–614. DOI: 10.2307/1907644.
7. See Kleiber and Kotz (2003), Table 2.4, p. 51, "The Burr Distributions."

Bibliografia

• Rodriguez, R. N. «A guide to Burr Type XII distributions». Biometrika, 64, 1, 1977, pàg. 129–134. DOI: 10.1093/biomet/64.1.129.

Vegeu també

• Distribució de Dagum, també coneguda com la distribució de Burr inversa.