Distribució de Weibull

Distribució de Weibull

Funció de distribució de probabilitat
Tipus	exponentiated Weibull distribution ^(en) , Distribució generalitzada de valors extrems, regression model ^(en) , distribució univariant i distribució de probabilitat contínua
Epònim	Waloddi Weibull
Paràmetres	${\displaystyle \lambda \in (0,+\infty )\,}$ escala ${\displaystyle k\in (0,+\infty )\,}$ forma
Suport	${\displaystyle x\in [0,+\infty )\,}$
fdp	${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
FD	${\displaystyle {\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle \lambda \,\Gamma (1+1/k)\,}$
Mediana	${\displaystyle \lambda (\ln 2)^{1/k}\,}$
Moda	=${\displaystyle {\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{1/k}\,&k>1\\0&k\leq 1\end{cases}}}$
Variància	${\displaystyle \lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,}$
Coeficient de simetria	${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$
Curtosi	(veure text)
Entropia	${\displaystyle \gamma (1-1/k)+\ln(\lambda /k)+1\,}$
FC	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)}$
Mathworld	WeibullDistribution

En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució de Weibull^[1] (batejada en honor de Waloddi Weibull) és una distribució de probabilitat contínua.

La distribució de Weibull s'utilitza habitualment per a l'anàlisi de dades de supervivència, degut a la seva flexibilitat i tractabilitat matemàtica. Pot imitar el comportament d'altres distribucions com la distribució normal quan k=3.4 i reproduir exactament la distribució exponencial quan k=1. Si la funció de risc decreix al llarg del temps, aleshores k < 1. Si és constant, k = 1. Si creix al llarg del temps, k > 1.

La funció de risc ajuda a comprendre què està causant les morts/fallides:

• Un risc decreixent suggereix "mortalitat infantil". És a dir, els ítems defectuosos fallen al principi i per tant a mesura que avança el temps només queden els ítems no defectuosos, i el risc de fallida disminueix.

• Un risc constant suggereix que no hi ha ítems defectuosos, i que els ítems no es desgasten amb el temps.

• Un risc creixent indica que els ítems es desgasten, i per tant a mesura que avança el temps augmenta el risc d'una fallida.

Caracterització

Funció de probabilitat de densitat

La seva funció de densitat de probabilitat és

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

per a ${\displaystyle x\geq 0}$ i f(x; k, λ) = 0 per a x < 0, on ${\displaystyle k>0}$ és el paràmetre de forma i ${\displaystyle \lambda >0}$ és el paràmetre d'escala.

Funció de distribució

La funció de distribució pot calcular-se de forma explícita, fet que fa la distribució de Weibull atractiva per a modelar certs tipus de dades, com per exemple en l'anàlisi de la supervivència.

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}}$

Funció de risc

${\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$

Propietats

Mitjana: ${\displaystyle \lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$

Mediana: ${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k}\,}$

Moda: ${\displaystyle \lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,}$ if ${\displaystyle k>1}$

Variància: ${\displaystyle \lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,}$

Asimetria: ${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

Moment d'ordre n: ${\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma (1+n/k)\,}$, on ${\displaystyle \Gamma }$ és la funció Gamma.

Generalització

Existeix una genelització de la distribució de Weibull, que empra tres paràmetres. La funció de densitat de probabilitat és:

${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,}$

per a ${\displaystyle x\geq \theta }$ i f(x; k, λ, θ) = 0 per x < θ, on ${\displaystyle k>0}$ és el paràmetre de forma, ${\displaystyle \lambda >0}$ és el paràmetre d'escala i ${\displaystyle \theta }$ és el paràmetre de localització. Quan θ=0, aquesta expressió es redueix a la distribució Gamma de dos paràmetres.

La funció de distribució és

${\displaystyle F(x;k,\lambda ,\theta )=1-e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}}$

per a x ≥ θ, i F(x; k, λ, θ) = 0 per a x < θ.

Generació de valors aleatoris

Donada una observació aleatòria U obtinguda de la distribució uniforme en l'interval (0, 1), aleshores

${\displaystyle X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,}$

segueix una distribució de Weibull amb paràmetres k i λ. Aquest resultat és una conseqüència immediata d'aplicar la transformació de distribució inversa.

Distribucions relacionades

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}$ és una distribució exponencial si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =1,\lambda ^{-1})}$.
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {Rayleigh} (\beta )}$ és una distribució de Rayleigh si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =2,{\sqrt {2}}\beta )}$.
• ${\displaystyle \lambda (-\ln(X))^{1/k}\,}$ segueix una distribució de Weibull si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Uniform} (0,1)}$.
• Si X segueix una distribució de Weibull, 1/X segueix una distribució de Weibull inversa amb funció de densitat de probabilitat ${\displaystyle f(x;k,\lambda )=(k/\lambda )(\lambda /x)^{(k+1)}e^{-(\lambda /x)^{k}}}$
• Vegeu també la distribució generalitzada del valor extrem.

Referències

1. Weibull, W. (1951) "A statistical distribution function of wide applicability" J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18(3), 293-297