Distribució binomial negativa estesa

Distribució binomial negativa estesa

Tipus	distribució univariant
Paràmetres	${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle 0<p\leq 1}$ ${\displaystyle -m<r<-m+1}$
Suport	${\displaystyle k\in \{m,m+1,m+2,\ldots \}}$

En probabilitat i estadística, la distribució binomial negativa estesa és una distribució de probabilitat discreta que amplia la distribució binomial negativa. Es tracta d'una versió truncada de la distribució binomial negativa^[1] per a la qual s'han estudiat mètodes d'estimació.^[2]

Una variable aleatòria X de la distribució binomial negativa estesa de paràmetres m, r i p s'escriurà : ${\displaystyle X\sim \mathrm {ExtNegBin} (m,r,p)}$.

En el context de la ciència actuarial, la distribució apareix en la seva forma general en un document de K. Hess, A. Liewald i K.D. Schmidt,^[3] on els autors caracteritzen les distribucions mitjançant l'extensió de la iteració de Panjer. Per al cas m = 1, la distribució ja va ser discutida per Willmot^[4] i es va posar en una família parametritzada amb la distribució logarítmica i la distribució binomial negativa per H.U. Gerber.^[5]

Funció de massa de probabilitat

Per un nombre natural m ≥ 1 i els paràmetres reals p, r amb 0 < p ≤ 1 i –m < r < –m + 1, funció de massa de probabilitat de la distribució ExtNegBin(m, r, p) està donada per

${\displaystyle f(k;m,r,p)=0\qquad {\text{ per a }}k\in \{0,1,\ldots ,m-1\}}$

i

${\displaystyle f(k;m,r,p)={\frac {{k+r-1 \choose k}p^{k}}{(1-p)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j}p^{j}}}\quad {\text{per }}k\in {\mathbb {N} }{\text{ amb }}k\geq m,}$

on

${\displaystyle {k+r-1 \choose k}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}=(-1)^{k}\,{-r \choose k}\qquad \qquad (1)}$

és el coeficient binomial (generalitzat) i Γ és la funció gamma.

Funció generadora de probabilitat

Usant f ( . ; m, r, ps) per a s ∈(0, 1] és també una funció de massa de probabilitat, on es dedueix que la funció generadora de probabilitat ve donada per

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (s)&=\sum _{k=m}^{\infty }f(k;m,r,p)s^{k}\\&={\frac {(1-ps)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}(ps)^{j}}{(1-p)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}p^{j}}}\qquad {\text{per }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.\end{aligned}}}$

Pel cas important m = 1, per tant r ∈(–1, 0), es pot simplificar en

${\displaystyle \varphi (s)={\frac {1-(1-ps)^{-r}}{1-(1-p)^{-r}}}\qquad {\text{per }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.}$

Referències

1. Jonhnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley ISBN 0-471-54897-9 (page 227)
2. Shah S.M. (1971) "The displaced negative binomial distribution", Bulletin of the Calcutta Statistical Association, 20, 143–152
3. Hess, Klaus Th.; Anett Liewald; Klaus D. Schmidt «An extension of Panjer's recursion» (PDF). ASTIN Bulletin, 32, 2, 2002, pàg. 283–297. DOI: 10.2143/AST.32.2.1030.
4. Willmot, Gordon «Sundt and Jewell's family of discrete distributions» (PDF). ASTIN Bulletin, 18, 1, 1988, pàg. 17–29. DOI: 10.2143/AST.18.1.2014957.
5. Gerber, Hans U. «From the generalized gamma to the generalized negative binomial distribution». Insurance: Mathematics and Economics, 10, 4, 1992, pàg. 303–309. DOI: 10.1016/0167-6687(92)90061-F. ISSN: 0167-6687.