Distribució recíproca

Distribució recíproca

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua
Paràmetres	${\displaystyle 0<a<b,a,b\in \mathbb {R} }$
Suport	${\displaystyle [a,b]}$
fdp	${\displaystyle {\frac {1}{x\ln {\frac {b}{a}}}}}$
FD	${\displaystyle {\frac {\ln {\frac {x}{a}}}{\ln {\frac {b}{a}}}}}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle {\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}}$
Mediana	${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$
Variància	${\displaystyle {\frac {b^{2}-a^{2}}{2\ln {\frac {b}{a}}}}-\left({\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}\right)^{2}}$

En probabilitat i estadística, la distribució recíproca, també coneguda com a distribució log-uniforme, és una distribució de probabilitat contínua. Es caracteritza perquè la seva funció de densitat de probabilitat, dins del suport de la distribució, és proporcional al recíproc de la variable.^[1]

La distribució recíproca és un exemple de distribució inversa, i la recíproca (inversa) d'una variable aleatòria amb una distribució recíproca té una distribució recíproca.^[2]

Definició

La funció de densitat de probabilitat (pdf) de la distribució recíproca és ^[3]

${\displaystyle f(x;a,b)={\frac {1}{x[\log _{e}(b)-\log _{e}(a)]}}\quad {\text{ per }}a\leq x\leq b{\text{ i }}a>0.}$

Aquí, ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ són els paràmetres de la distribució, que són els límits inferior i superior del suport, i ${\displaystyle \log _{e}}$ és la funció logarítmica natural (el logaritme a la base e). La funció de distribució acumulada és

${\displaystyle F(x;a,b)={\frac {\log _{e}(x)-\log _{e}(a)}{\log _{e}(b)-\log _{e}(a)}}\quad {\text{ per }}a\leq x\leq b.}$ ^[4]

Aplicacions

La distribució recíproca té una importància considerable en l'anàlisi numèrica, perquè les operacions aritmètiques d'un ordinador transformen mantisses amb distribucions arbitràries inicials en la distribució recíproca com a distribució limitadora.^[5]

Referències

1. «Reciprocal Distribution: Definition & Examples» (en anglès). https://www.statisticshowto.com.+[Consulta: 9 juliol 2023].
2. «Does the reciprocal of a probability represent anything?» (en anglès). https://stats.stackexchange.com.+[Consulta: 9 juliol 2023].
3. «mean and variance of reciprocal normal distribution» (en anglès). https://math.stackexchange.com.+[Consulta: 9 juliol 2023].
4. Friar, J. L.; Goldman, T.; Pérez-Mercader, J. «Ubiquity of Benford's law and emergence of the reciprocal distribution» (en anglès). Physics Letters A, 380, 22, 20-05-2016, pàg. 1895–1899. DOI: 10.1016/j.physleta.2016.03.045. ISSN: 0375-9601.
5. Hamming R. W. (1970) "On the distribution of numbers", The Bell System Technical Journal 49(8) 1609–1625