El mètode de Laplace

En matemàtiques, el mètode de Laplace, que rep el nom de Pierre-Simon Laplace, és una tècnica utilitzada per aproximar integrals de la forma ^[1]

${\displaystyle f(x)={\tfrac {\sin(x)}{x}}}$ té un màxim global a 0. ${\displaystyle e^{Mf(x)}}$ es mostra a la part superior per a M = 0,5, i a la part inferior per a M = 3 (tots dos en blau). A mesura que M creix, l'aproximació d'aquesta funció per una funció gaussiana (mostrada en vermell) millora. Aquesta observació és la base del mètode de Laplace.

${\displaystyle \int _{a}^{b}e^{Mf(x)}\,dx,}$

on ${\displaystyle f(x)}$ és una funció diferenciable dues vegades, M és un nombre gran i els extrems a i b possiblement poden ser infinits. Aquesta tècnica es va presentar originalment a Laplace (1774).

En l'estadística bayesiana, l'aproximació de Laplace pot referir-se a l'aproximació de la constant de normalització posterior amb el mètode de Laplace ^[2] o a l'aproximació de la distribució posterior amb un gaussià centrat en l'estimació a posteriori màxima.^[3] Les aproximacions de Laplace tenen un paper central en el mètode integrat d'aproximacions de Laplace imbricades per a una inferència bayesiana aproximada ràpida.^[4]

La idea del mètode de Laplace

Suposem la funció ${\displaystyle f(x)}$ té un màxim global únic a x₀. Deixar ${\displaystyle M>0}$ sigui una constant i consideri les dues funcions següents:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=Mf(x)\\h(x)&=e^{Mf(x)}\end{aligned}}}$

Tingueu en compte que x ₀ serà el màxim global de ${\displaystyle g}$ i ${\displaystyle h}$ també. Ara observeu:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {g(x_{0})}{g(x)}}&={\frac {Mf(x_{0})}{Mf(x)}}={\frac {f(x_{0})}{f(x)}}\\[4pt]{\frac {h(x_{0})}{h(x)}}&={\frac {e^{Mf(x_{0})}}{e^{Mf(x)}}}=e^{M(f(x_{0})-f(x))}\end{aligned}}}$

A mesura que M augmenta, la relació per ${\displaystyle h}$ creixerà exponencialment, mentre que la proporció per ${\displaystyle g}$ no canvia. Així, les contribucions significatives a la integral d'aquesta funció vindran només dels punts x en un entorn de x₀, que després es poden estimar.

Teoria general del mètode de Laplace

Per afirmar i motivar el mètode, necessitem diverses hipòtesis. Suposarem que x₀ no és un punt final de l'interval d'integració, que els valors ${\displaystyle f(x)}$ no pot estar molt a prop ${\displaystyle f(x_{0})}$ tret que x sigui proper a x_0.

Ens podem ampliar ${\displaystyle f(x)}$ al voltant de x₀ pel teorema de Taylor,

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+R}$

on ${\displaystyle R=O\left((x-x_{0})^{3}\right)}$ (vegeu: notació O gran).

Des que ${\displaystyle f}$ té un màxim global a x ₀, i com que x ₀ no és un punt final, és un punt estacionari, és a dir ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$. Per tant, el polinomi de Taylor de segon ordre s'aproxima ${\displaystyle f(x)}$ és

${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}$

Aleshores només necessitem un pas més per obtenir la nostra distribució gaussiana. Des que ${\displaystyle x_{0}}$ és un màxim global de la funció ${\displaystyle f}$ podem dir, per definició de la segona derivada, que ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$, que ens permet escriure

${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})-{\frac {1}{2}}|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}}$

per x proper a x₀. Aleshores la integral es pot aproximar amb:

${\displaystyle \int _{a}^{b}e^{Mf(x)}\,dx\approx e^{Mf(x_{0})}\int _{a}^{b}e^{-{\frac {1}{2}}M|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}}\,dx}$

(vegeu la imatge de la dreta). Aquesta darrera integral és una integral gaussiana si els límits d'integració van de −∞ a +∞ (cosa que es pot suposar perquè l'exponencial decau molt ràpidament lluny de x₀), i així es pot calcular. Trobem

${\displaystyle \int _{a}^{b}e^{Mf(x)}\,dx\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{M|f''(x_{0})|}}}e^{Mf(x_{0})}{\text{ quan }}M\to \infty .}$

Referències

1. «Laplace’s Method of Integration» (en anglès). [Consulta: 18 febrer 2024].
2. Tierney, Luke; Kadane, Joseph B. J. Amer. Statist. Assoc., 81, 1986, pàg. 82–86. DOI: 10.1080/01621459.1986.10478240.
3. Amaral Turkman, M. Antónia. «Methods Based on Analytic Approximations». A: Computational Bayesian Statistics: An Introduction (en anglès). Cambridge University Press, 2019, p. 150–171. ISBN 978-1-108-70374-1. 
4. «laplace’s method for integrals» (en anglès). [Consulta: 18 febrer 2024].