Equació de Txapliguin

En la dinàmica de gasos, l'equació de Txapligin, anomenada així per Serguei Alekséievitx Txapliguin (1902), és una equació en derivades parcials útil en l'estudi del flux transònic.^[1][2] És

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}$

on ${\displaystyle c=c(v)}$ és la velocitat del so determinada per l'equació d'estat del fluid i la conservació de l'energia.

Derivació

Per al flux potencial bidimensional, les equacions de continuïtat i les equacions d'Euler (de fet, és l'equació comprensible de Bernoulli degut a la irrotacionalitat), en coordenades cartesianes ${\displaystyle (x,y)}$ que involucra les variables velocitat de fluid ${\displaystyle (v_{x},v_{y})}$, la entalpia específica ${\displaystyle h}$ i la densitat ${\displaystyle \rho }$ és:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho v_{x})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho v_{y})&=0,\\h+{\frac {1}{2}}v^{2}&=h_{o}.\end{aligned}}}$

amb l'equació d'estat ${\displaystyle \rho =\rho (s,h)}$ actuant com a tercera equació, on

• ${\displaystyle h_{o}}$ es la entalpia d'estancament,
• ${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ es la magnitud del vector de velocitat, i
• ${\displaystyle s}$ és l'entropia.

Per al flux isoentròpic, la densitat pot expressar-se com una funció només de l'entalpia, que al seu torn, usant l'equació de Bernoulli, es pot escriure com ${\displaystyle \rho =\rho (v)}$.

Atès que el flux és irrotacional, hi ha un potencial de velocitat ${\displaystyle \phi }$ i el seu diferencial és ${\displaystyle d\phi =v_{x}dx+v_{y}dy}$. En lloc de tractar ${\displaystyle v_{x}=v_{x}(x,y)}$ y ${\displaystyle v_{y}=v_{y}(x,y)}$ com a variables dependents, fem servir una transformació de coordenades de tal manera${\displaystyle x=x(v_{x},v_{y})}$ i ${\displaystyle y=y(v_{x},v_{y})}$ es converteixen en noves variables dependents. De manera similar, el potencial de velocitat és reemplaçat per una nova funció, la transformada de Legendre

${\displaystyle \Phi =xv_{x}+yv_{y}-\phi }$

tal que el seu diferencial és ${\displaystyle d\Phi =xdv_{x}+ydv_{y}}$, per tant

${\displaystyle x={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{x}}},\quad y={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{y}}}.}$

Introduint una altra transformació de coordenades per a les variables de ${\displaystyle (v_{x},v_{y})}$ a ${\displaystyle (v,\theta )}$ d'acord amb la relació ${\displaystyle v_{x}=v\cos \theta }$ y ${\displaystyle v_{y}=v\sin \theta }$, on ${\displaystyle v}$ és la magnitud del vector de velocitat i ${\displaystyle \theta }$ és l'angle que el vector de velocitat fa amb l'eix ${\displaystyle v_{x}}$, les variables dependents esdevenen

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}-{\frac {\sin \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\y&=\sin \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {\cos \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\\phi &=-\Phi +v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}.\end{aligned}}}$

L'equació de continuïtat en les noves coordenades es converteix en:

${\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {1}{v}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}\right)+\rho v{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}=0.}$

Per a un flux isentròpic tal que ${\displaystyle dh=\rho ^{-1}c^{2}d\rho }$ on ${\displaystyle c}$ és la velocitat del so. Usant l'equació de Bernoulli s'obté:

${\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}=\rho \left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}$

on ${\displaystyle c=c(v)}$. Per tant, tenim:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}$

Referències

1. Txapliguin, S. A. On gas streams. Complete collection of works.. Izd. Akad. Nauk SSSR, 2, 1902. 
2. Landau, Lev D; Lifshitz, Evgeny M. Fluid Mechanics (en anglès). Pergamon Press, 1982. 

Bibliografia

• Landau, L.D; Lifschitz, E.M. Lehrbuch der Theoretischen Physik (en alemany). vol IV. Hydrodynamik. Frankfurt am Main: Wissenschaftlicher Verlag Harry Deutsch, 200, p. 563–567. ISBN 978-3-8171-1331-6. 
• Lenk, Richard; Gellert, Walter. Brockhaus abc – Physik (en alemany). 2. Leipzig: Brockhaus, 1972, p. 1590. 

Vegeu també

• Equació d'Euler-Tricomi