En geometria diferencial, l'espai cotangent és un espai vectorial associat a un punt en una varietat llisa (o diferenciable) ; es pot definir un espai cotangent per a cada punt d'una varietat llisa. Normalment, l'espai cotangent, es defineix com l'espai dual de l'espai tangent a , , tot i que hi ha definicions més directes (vegeu més avall). Els elements de l'espai cotangent s'anomenen vectors cotangents o covectors tangents.[1]
Tots els espais cotangents en punts d'una varietat connectada tenen la mateixa dimensió, igual a la dimensió de la varietat. Tots els espais cotangents d'una varietat es poden "enganxar" (és a dir, unir-se i dotar-se d'una topologia) per formar una nova varietat diferenciable de dues vegades la dimensió, el paquet cotangent de la varietat.[2]
L'espai tangent i l'espai cotangent en un punt són espais vectorials reals de la mateixa dimensió i, per tant, isomòrfics entre si mitjançant molts isomorfismes possibles. La introducció d'una mètrica riemanniana o d'una forma simplèctica dóna lloc a un isomorfisme natural entre l'espai tangent i l'espai cotangent en un punt, associant a qualsevol covector tangent un vector tangent canònic.[3]
Deixa ser una varietat llisa i deixar ser un punt . Deixa sigui l'espai tangent a . Aleshores l'espai cotangent a x es defineix com l'espai dual de :
Concretament, els elements de l'espai cotangent són funcionals lineals . És a dir, cada element és un mapa lineal
on és el cos subjacent de l'espai vectorial que es considera, per exemple, el cos dels nombres reals. Els elements de s'anomenen vectors cotangents.[4]
En alguns casos, es podria agradar tenir una definició directa de l'espai cotangent sense fer referència a l'espai tangent. Aquesta definició es pot formular en termes de classes d'equivalència de funcions suaus . De manera informal, direm que dues funcions suaus f i g són equivalents en un punt si tenen el mateix comportament de primer ordre a prop , anàloga als seus polinomis lineals de Taylor; dues funcions f i g tenen el mateix comportament de primer ordre a prop si i només si la derivada de la funció f − g s'esvaeix a . L'espai cotangent consistirà llavors en tots els possibles comportaments de primer ordre d'una funció propera .