Un espai euclidià és un espai vectorial normat de dimensió finita, en què la norma és heretada d'un producte escalar.[1]
Primera aproximació[modifica]
L'espai euclidià treu el seu nom del matemàtic grec Euclides.[2] Històricament, l'espai euclidià consta només de l'espai físic de 2 o 3 dimensions: el pla o l'espai, en el qual estan definits el punts. Aquests espais euclidians naturals són els universos en què van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. Són els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al segle xix.
En el segle xix, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. És en aquest moment quan es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.
Definicions matemàtiques[modifica]
Espai vectorial euclidià[modifica]
Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial sobre
, de dimensió finita n i dotat d'un producte escalar.
En qualsevol espai vectorial, sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar canònic per:
.
Quan es té definit un producte escalar, és possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:
,
i que també permet introduir la noció d'angle: l'angle geomètric entre dos vectors u, v no nuls, és un valor real
comprès entre 0 i π, tal que:
![{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\lVert \mathbf {u} \rVert \cdot \lVert \mathbf {v} \rVert }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974da12a0009b639fb9e80572ab796383fbf6d72)
Espai afí euclidià[modifica]
Un espai afí euclidià és l'espai afí associat a un espai vectorial euclidià.
S'hi pot definir una distància, nocions de l'angle geomètric, s'hi retroba el teorema de Pitàgores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.
Exemples d'espai vectorial euclidià[modifica]
- L'espai
, amb el producte escalar euclidià:
![{\displaystyle \langle (x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n})\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdff125bb24fbf7cbbe8b7e48b4c325df1bf6549)
és un espai vectorial euclidià de dimensió n.
- L'espai vectorial dels polinomis de grau igual o inferior a n:
- amb el producte escalar euclidià:
![{\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=o}^{n}b_{i}Y^{i}\right\rangle =\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ab022fdd3147da733c683891aed9e678df04b4)
és un espai euclidià de dimensió
.
![{\displaystyle \langle P,Q\rangle =\int _{0}^{1}P(t)Q(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80f622aefb5a31d613fb2a158e9f8d57b0b0fe7)
és també un espai euclidià amb una norma diferent.
Propietats dels espais euclidians[modifica]
- En tot espai euclidià, es pot definir una base ortonormal. Més concretament, si
és una base de
, existeix una base
ortonormal, tal que per a tot
entre 1 i n, es compleix que:
,
en què s'entén per
la varietat lineal engendrada per aquells
elements de la base.
- Tot espai vectorial euclidià de dimensió
és isomorf a
.
- Tot espai vectorial euclidià és complet. És, per tant, un cas particular d'espai de Banach.
- Dos vectors amb producte escalar nul es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial
d'un espai euclidià
es pot associar un únic subespai
format per tots els vectors ortogonals a tots els vectors de
, que és el seu ortogonal.
- Si
és un vector de
, l'aplicació producte escalar per
,
és una forma lineal. L'aplicació que associa
a
és un isomorfisme de l'espai vectorial
en el seu dual
.
- Si
és un endomorfisme de
, existeix un únic endomorfisme, que s'escriurà per
i anomenat adjunt de
, tal que:
![{\displaystyle \forall x,y\in \mathbf {E} ,<f(x),y>=<x,f^{*}(y)>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2251038409832841cd26aa66b0b10f939a175781)
Es defineix les nocions d'endomorfisme simètric si
, i endomorfisme antisimètric si
.
En una base ortonormal, la matriu de
és la transposada de
.
|
---|
Espais dimensionals | | |
---|
Altres dimensions | |
---|
Polítops i formes | |
---|
Dimensions per nombre | |
---|
|