Estadística de Fermi-Dirac

Distribució de Fermi-Dirac en funció de ${\displaystyle \varepsilon /\mu }$ per quatre temperatures diferents. Les corbes més suaus corresponen a les temperatures més altes.

En estadística de partícules, l'estadística Fermi-Dirac (o més col·loquialment estadística F-D) determina la distribució estadística d'un conjunt de fermions indistingibles en equilibri tèrmic sobre un conjunt d'estats d'energia.

Els fermions estan subjectes al principi d'exclusió de Pauli: un determinat estat quàntic pot estar ocupat per no més d'un fermió en cada instant de temps. Matemàticament, això s'expressa dient que el nombre mitjà de fermions en un estat i ${\displaystyle n_{i}}$ ve determinat per l'expressió

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}}$

on ${\displaystyle \varepsilon _{i}\geq \mu }$ i:

${\displaystyle g_{i}}$ és la degeneració de l'estat i

${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ és l'energia de l'estat i

${\displaystyle \mu }$ és el potencial químic del sistema

${\displaystyle k_{B}}$ és la constant de Boltzmann

${\displaystyle T}$ és la temperatura absoluta

Aquesta expressió es redueix a la corresponent a l'estadística de Maxwell-Boltzmann per a energies grans (${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{B}T}$).

A baixes temperatures ${\displaystyle T}$, un sistema de ${\displaystyle N}$ fermions tendirà a omplir els ${\displaystyle N}$ estats de menor energia. A ${\displaystyle T=0}$, parlem de mar de Fermi per referir-nos al conjunt de nivells energètics ocupats. El(s) darrer(s) estats ocupats tindran una energia ${\displaystyle E_{F}}$ que s'anomena 'energia de Fermi'. Anàlogament, anomenem superfície de Fermi el conjunt d'estats l'energia dels quals és igual a ${\displaystyle E_{F}}$. Per exemple, en el cas d'un sistema homogeni de fermions no interaccionants, a ${\displaystyle T=0}$ els estats ocupats són els estats amb moment ${\displaystyle {\vec {p}}}$ tal que ${\displaystyle p=|{\vec {p}}|\leq p_{F}}$, on ${\displaystyle p_{F}}$ és el moment de Fermi, i ${\displaystyle E_{F}=\hbar ^{2}p_{F}^{2}/(2m)}$, essent ${\displaystyle m}$ la massa dels fermions.

L'estadísitca de Fermi-Dirac va ser introduïda el 1926 per Enrico Fermi,^[1] i posteriorment redescoberta independentment per P. A. M. Dirac,^[2] per comprendre com els electrons ocupaven els estats energètics atòmics d'acord amb la nova teoria quàntica. A partir d'aquests treballs va ser possible comprendre des d'un punt de vista fonamental l'estructura de la taula periòdica dels elements.

Referències

1. E. Fermi, "Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico" (Sobre la quantització del gas perfecte monoatòmic), Lincei Rend. 3, 145-149 (1926); "Zur Quantelung des Idealen Einatomigen Gases" (id.), Z. Physik 36, 902 (1926).
2. P. A. M. Dirac, "On the Theory of Quantum Mechanics" (Sobre la Teoria de la Mecànica Quàntica), Proc. Roy. Soc. A112, 661 (1926).

Vegeu també

• Estadística de Bose-Einstein
• Estadística de Maxwell-Boltzmann
• Bosó
• Fermió