La funció de recompte de primers representada de l'1 al 60 és un exemple de funció aritmètica.En teoria de nombres, una funció aritmètica, a vegades també anomenada funció teòrica de nombres, és qualsevol funcióf(n) el domini de la qual són els nombres enters positius i el rang de la qual és un subconjunt dels nombres complexos. Hardy i Wright inclouen en la seva definició el requisit que una funció aritmètica "expressa alguna propietat aritmètica de n".[1]
Un exemple de funció aritmètica és la funció divisor, el valor de la qual en un nombre enter positiu n és igual al nombre de divisors de n.[2]
Hi ha una classe més gran de funcions teòriques de nombres que no s'ajusten a la definició anterior, per exemple, les funcions de comptatge primers. Aquest article proporciona enllaços a funcions d'ambdues classes.[3]
Les funcions aritmètiques solen ser extremadament irregulars, però algunes d'elles tenen expansions en sèrie en termes de la suma de Ramanujan.[4]
Dos nombres enters m i n s'anomenen coprimers si el seu màxim comú divisor és 1, és a dir, si no hi ha cap nombre primer que els divideixi a tots dos. Aleshores una funció aritmètica a és:
additiva si a(mn) = a(m) + a(n) per a tots els nombres naturals coprims m i n;
multiplicativa si a(mn) = a(m) a(n) per a tots els nombres naturals coprims m i n.
