Funció logarítmica convexa

En matemàtiques, una funció ${\displaystyle f}$ definida en un subconjunt convex d'un espai vectorial real i prenent valors positius es diu que és logarítmicament convexa o superconvexa^[1] si la composició de la funció logarítmica amb ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle {\log }\circ f}$, és una funció convexa; el logaritme retarda dràsticament el creixement de la funció original ${\displaystyle f}$, de manera que si la composició encara conserva la propietat de convexitat això significa que la funció original ${\displaystyle f}$ era «realment convexa», d'aquí el terme «superconvexa».

Una funció logarítmica convexa ${\displaystyle f}$ és una funció convexa, ja que és el compost de la funció convexa creixent ${\displaystyle \exp }$ i de la funció ${\displaystyle \log \circ f}$, que se suposa que és convex. Però això no sempre és cert: per exemple ${\displaystyle g:x\mapsto x^{2}}$ és una funció convexa, però ${\displaystyle {\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|}$ no és una funció convexa i, per tant, ${\displaystyle g}$ no és logarítmicament convexa. Per altra banda, ${\displaystyle x\mapsto e^{x^{2}}}$ és logarítmicament convexa només si ${\displaystyle x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}}$ és convexa.

Un exemple important d'una funció logarítmica convexa és la funció gamma en els reals positius (vegeu també el teorema de Bohr-Mollerup).

Definició formal

Sigui ${\displaystyle I}$ un interval real i ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} _{+}^{*}}$. Es diu que ${\displaystyle f}$ és logarítmicament convexa si, per a tots els punts ${\displaystyle x,y}$ de ${\displaystyle I}$ i tot ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$, existeix la desigualtat següent:

${\displaystyle \ln \left(f(\lambda x+(1-\lambda )y)\right)\leq \lambda \ln \left(f(x)\right)+(1-\lambda )\ln \left(f(y)\right)}$,

o encara, prenent l'exponencial:

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \left(f(x)\right)^{\lambda }\left(f(y)\right)^{1-\lambda }}$.

Igualment, ${\displaystyle f}$ és logarítmicament convexa si per a tot l'interval no trivial ${\displaystyle [x,y]\subset I}$, els reals ${\displaystyle \beta ,\gamma >0}$ determinats per ${\displaystyle \gamma ^{x}f(x)=\gamma ^{y}f(y)=\beta }$ verifiquen:

${\displaystyle \forall t\in [x,y]\quad \gamma ^{t}f(t)\leq \beta }$.

Exemples

• Per a tot a > 0, l'exponencial de base a és logarítmicament convexa.
• La funció generadora de moments és logarítmicament convexa.
• Per a tota mesura μ (sobre un espai mesurable) i tota funció ${\displaystyle f}$ ∈ L^p(μ)∩L^q(μ) amb 0 < p < q, l'aplicació ${\displaystyle r\mapsto \left\|f\right\|_{r}}$ és logarítmicament convexa sobre [p, q].
• La funció gamma és logarítmicament convexa sobre ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$.^[2] Una característica de la funció gamma per la log-convexitat, es donada pel teorema de Bohr-Mollerup.
• La funció zeta de Rieman és logarítmicament convexa sobre ${\displaystyle \left]1,+\infty \right[}$.

Una caracterització

${\displaystyle f}$ és logarítmicament convexa si, i només si, per a tot ${\displaystyle c>0}$, l'aplicació ${\displaystyle t\mapsto c^{t}f(t)}$ és convexa.

Fixem un interval no trivial ${\displaystyle [x,y]\subset I}$ i demostrem, per a tot ${\displaystyle t\in [x,y]}$, l'equivalència ${\displaystyle P(t)\Leftrightarrow Q(t)}$, on els predicats ${\displaystyle P,Q}$ tradueixen la convexitat logarítmica de ${\displaystyle f}$ i la convexitat de ${\displaystyle s\mapsto c^{s}f(s)}$ per a tot ${\displaystyle c>0}$ :

${\displaystyle P(t):\quad \gamma ^{t}f(t)\leq \beta ,\qquad Q(t):\quad \forall c>0\quad c^{t}f(t)\leq a_{c}t+b_{c}}$,

els reals ${\displaystyle \beta ,\gamma >0,a_{c},b_{c}}$ estan determinats per

${\displaystyle \gamma ^{x}f(x)=\gamma ^{y}f(y)=\beta ,\quad c^{x}f(x)=a_{c}x+b_{c}{\text{ et }}c^{y}f(y)=a_{c}y+b_{c}.}$

• ${\displaystyle Q(t)\Rightarrow P(t)}$ perquè ${\displaystyle a_{\gamma }=0}$ i ${\displaystyle b_{\gamma }=\beta }$.
• ${\displaystyle P(t)\Rightarrow Q(t)}$ perquè si ${\displaystyle \gamma ^{t}f(t)\leq \beta }$ llavors, per a tot ${\displaystyle c>0}$, ${\displaystyle c^{t}f(t)\leq (c/\gamma )^{t}\beta \leq a_{c}t+b_{c}}$, perquè ${\displaystyle s\mapsto (c/\gamma )^{s}\beta }$ és convexa i coincideix amb ${\displaystyle s\mapsto a_{c}s+b_{c}}$ als punts ${\displaystyle s=x}$ et ${\displaystyle s=y}$.

Propietats

• Tota funció logarítmicament convexa és convexa. En la funció inversa és fals, tal com mostra el contraexemple clàssic de la funció x ↦ x².
• La suma i el producte de dues funcions logarítmicament convexes són logarítmicament convexes. Aquestes dues propietats es dedueixen del fet que la suma de dues funcions convexes és convexa, usant l'equació funcional logarítmica per a l'estabilitat del producte i la caracterització anterior per a l'estabilitat de la suma.^[3]

Generalització a les funcions d'una variable vectorial

Sigui ${\displaystyle E}$ un espai vectorial real ${\displaystyle C}$ un convex de ${\displaystyle E}$. Una aplicació ${\displaystyle f:C\rightarrow \mathbb {R} _{+}^{*}}$ s'anomena logarítmicament convexa si ${\displaystyle \ln \circ f}$ és convexa sobre C.

Les dues propietats anteriors s'estenen immediatament a aquest marc, ja que una funció és convexa sobre ${\displaystyle C}$ si, i només si, la seva «restricció» ${\displaystyle t\mapsto f\left(tA+(1-t)B\right)}$a tot el segment ${\displaystyle [A,B]\subset C}$ és una funció convexa de la variable real t ∈ [0, 1].

De la mateixa manera, és fàcil deduir de la caracterització anterior que una aplicació ${\displaystyle f}$ és logarítmicament convexa sobre est ${\displaystyle C}$ si, i només si, per a tota forma lineal ${\displaystyle \varphi }$ sobre ${\displaystyle E}$, l'aplicació ${\displaystyle C\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto \mathrm {e} ^{\varphi (x)}f(x)}$ és convexa.^[4]

Referències

1. Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.
2. Per a una generalització, vegeu Artin 2015, p. 10, teorema 1.9.
3. Per a una altra demostració d'estabilitat per suma, vegeu Artin 2015, p. 8-9, teorema 1.8.
4. Demostrat sota suposicions addicionals a Hiriart-Urruty 2009, p. 30-31, exercici I.15.

Bibliografia

• Artin, Emil. The Gamma function (en anglès). Dover, 2015. 
• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven. Convex Optimization (en anglès). Cambridge University Press, 2004, p. 104-108. 
• Gourdon, Xavier. Les maths en tête (Maths pour M') : Analyse (en francès). Éditions Ellipses, 2008. ISBN 978-2-72983759-4. 
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste. Optimisation et analyse convexe (en francès). EDP Sciences, 2009. 

Vegeu també

• Funció logarítmica còncava
• Teorema dels tres cercles de Hadamard