Integral singular

En matemàtiques, les integrals singulars són fonamentals per a l'anàlisi harmònica i estan íntimament connectades amb l'estudi de les equacions en derivades parcials. En termes generals, una integral singular és un operador integral ^[1]

${\displaystyle T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}$

la funció del nucli K : Rⁿ × Rⁿ → R és singular al llarg de la diagonal x = i. Concretament, la singularitat és tal que |K(x , i)| és de mida |x − i|⁻ⁿ asimptòticament com |x − i| → 0. Com que aquestes integrals poden no ser, en general, absolutament integrables, una definició rigorosa les ha de definir com el límit de la integral sobre |y − x| > ε com ε → 0, però a la pràctica això és un tecnicisme. Normalment calen més hipòtesis per obtenir resultats com ara la seva limitació a L^p(Rⁿ).^[2]

La transformada de Hilbert

L'operador integral singular arquetípic és la transformada de Hilbert H. Està donat per convolució contra el nucli K ( x ) = 1/(π x ) per a x a R. Més precisament,

${\displaystyle H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.}$

Els anàlegs de dimensió superior més senzills d'aquests són les transformades de Riesz, que substitueixen K ( x ) = 1/ x amb

${\displaystyle K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}}$

on i = 1,... , n i ${\displaystyle x_{i}}$ és l' i -è component de x a Rⁿ. Tots aquests operadors estan limitats a L^p i satisfan el tipus feble (1, 1) estimacions.^[3]

Integrals singulars de tipus convolució

Una integral singular de tipus de convolució és un operador T definit per convolució amb un nucli K que és integrable localment en R ⁿ \{0}, en el sentit que ^[4]

${\displaystyle T(f)(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y-x|>\varepsilon }K(x-y)f(y)\,dy.}$ (1)

Suposem que el nucli compleix:

1. La condició de mida de la transformada de Fourier de K
2. La condició de suavitat : per a alguns C > 0,

   ${\displaystyle \sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx\leq C.}$

Aleshores es pot demostrar que T està acotada a L^p(Rⁿ) i satisfà un tipus feble (1, 1) estimació.

Propietat 1. es necessita per assegurar que la convolució (1) amb la distribució temperada p.v.K donada per la integral del valor principal

${\displaystyle \operatorname {p.v.} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx}$

és un multiplicador de Fourier ben definit sobre L². Cap de les propietats 1. o 2. és necessàriament fàcil de verificar i hi ha una varietat de condicions suficients. Normalment, a les aplicacions, també hi ha una condició de cancel·lació

${\displaystyle \int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0}$

que és bastant fàcil de comprovar. És automàtic, per exemple, si K és una funció senar. Si, a més, s'assumeix 2. i la següent condició de mida

Integrals singulars de tipus no convolucional

Aquests són encara operadors més generals. Tanmateix, com que els supòsits són tan febles, no és necessàriament el cas que aquests operadors estiguin limitats a L^p.

Nuclis de Calderón–Zygmund

Una funció K : Rⁿ×Rⁿ → R es diu que és un nucli de Calderón – Zygmund si compleix les condicions següents per a algunes constants C > 0 i δ > 0.

1. ${\displaystyle |K(x,y)|\leq {\frac {C}{|x-y|^{n}}}}$

   ${\displaystyle |K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|x-x'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x'-y|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ sempre que }}|x-x'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y|,|x'-y|{\bigr )}}$

   ${\displaystyle |K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|y-y'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x-y'|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ sempre que }}|y-y'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y'|,|x-y|{\bigr )}}$

Referències

1. Maity, Arup; Mondal, Shyam Swarup «A note on singular integral» (en anglès). Analysis, 43, 3, 01-08-2023, pàg. 209–213. DOI: 10.1515/anly-2022-1107. ISSN: 2196-6753.
2. «On Singular Integral Operators» (en anglès). [Consulta: 13 gener 2025].
3. Estrada, Ricardo; Kanwal, Ram P. «Singular Integral Equations» (en anglès). SpringerLink, 2000. DOI: 10.1007/978-1-4612-1382-6.
4. Weisstein, Eric W. «Singular Integral» (en anglès). [Consulta: 12 gener 2025].