Intersecció

Exemple gràfic, l'àrea lila representa la intersecció de A i B.

La intersecció és una operació entre conjunts. Aquesta operació crea el conjunt, anomenat conjunt intersecció, format pels elements que pertanyen a la vegada a tots els conjunts que s'intersequen. S'expressa amb el símbol ${\displaystyle \cap }$.^[1][2][3]

Per exemple:

Donat ${\displaystyle A=\{a,e,i,s\}}$ i ${\displaystyle B=\{a,e,f,h\}}$, si definim ${\displaystyle C=A\cap B}$, llavors ${\displaystyle C=\{a,e\}}$. ${\displaystyle C=A\cap B}$ es llegeix: el conjunt C és igual a la intersecció dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt intersecció dels conjunts A i B.

Propietats de la intersecció

Propietat idempotent

Quan intersequem un conjunt amb si mateix, el conjunt intersecció és el mateix conjunt.

${\displaystyle A\cap A=A}$

Propietat commutativa

El conjunt intersecció resultant és indiferent a l'ordre amb què s'intersequen els conjunts.

${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$

Propietat associativa

El conjunt intersecció resultant quan intersequem més de dos conjunts, és indiferent a la jerarquia amb què es facin les interseccions.

${\displaystyle A\cap B\cap C=(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$

Intersecció de subconjunts

Si intersequem un conjunt A amb un subconjunt B, el conjunt intersecció és B.

Si tenim els conjunts A i B tal que ${\displaystyle A\supset B}$ (A inclou B), llavors ${\displaystyle A\cap B=B}$

Relacions entre la unió i la intersecció: propietat distributiva

La unió i la intersecció es poden relacionar mitjançant la propietat distributiva. Existeixen dues possibles versions d'aquesta propietat.

• La unió d'un conjunt amb un conjunt intersecció és igual a unir el primer conjunt amb els diferents conjunts que formen el conjunt intersecció, i fer la intersecció entre tots els conjunts unió resultants. És molt més entenedor escrit simbòlicament:

${\displaystyle A\cup (B\cap C\cap D...)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\cap (A\cup D)}$ ...

• També es pot aplicar aquesta propietat intercanviant les interseccions i les unions:

${\displaystyle A\cap (B\cup C\cup D...)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (A\cap D)}$ ...

Referències

1. Intersection a MathWorld (anglès)
2. «Definición de intersección — Definicion.de» (en castellà). [Consulta: 18 gener 2022].
3. «intersection | set theory | Britannica» (en anglès). [Consulta: 19 gener 2022].

Vegeu també

• Teoria de conjunts

Viccionari