Isomorfisme musical

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

A matemàtiques, el isomorfisme musical és un isomorfisme entre el fibrat tangent ${\displaystyle TM}$ i el fibrat cotangent ${\displaystyle T^{*}M}$ d'una varietat riemanniana, que ve induït per la seva mètrica.

Introducció

Una mètrica g en una varietat riemanniana M és un camp tensorial ${\displaystyle g\in {\mathcal {T}}_{2}(M)}$ que és simètric, no degenerat i definit positiu. En fixar un dels dos paràmetres com un vector ${\displaystyle v_{p}\in T_{p}M}$, s'obté un isomorfisme de espais vectorials:

${\displaystyle {\hat {g}}_{p}:T_{p}M\longrightarrow T_{p}^{*}M}$

definit per:

${\displaystyle {\hat {g}}_{p}(v_{p})=g(v_{p},-)}$

és a dir,

${\displaystyle \langle {\hat {g}}_{p}(v_{p}),\omega _{p}\rangle =g_{p}(v_{p},\omega _{p})}$

Globalment,

${\displaystyle {\hat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M}$

és un difeomorfisme.

Motivació per al nom

L'isomorfisme ${\displaystyle {\hat {g}}}$ i la seva inversa ${\displaystyle {\hat {g}}^{-1}}$ s'anomenen isomorfismes musicals perquè pugen i baixen els índexs dels vectors. Per exemple, un vector de TM s'escriu com ${\displaystyle \alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ i un covector com ${\displaystyle \alpha _{i}dx^{i}}$, així que l'índex i puja i baixa en ${\displaystyle \alpha }$ de la mateixa manera que els símbols sostingut (${\displaystyle \sharp }$) i bemoll (${\displaystyle \flat }$) pugen i baixen un semitò.

Gradient

Els isomorfismes musicals es poden utilitzar per definir el gradient d'una funció diferenciable sobre una varietat riemanniana M com a:

${\displaystyle \nabla f=\mathrm {grad} \;f={\hat {g}}^{-1}\circ df=(df)^{\sharp }}$

Vegeu també

• Llei de pujar o baixar índexs (tensors)