Lema d'Itô

En matemàtiques, el lema d'Itô o fórmula d'Itô (també anomenada fórmula Itô-Doeblin, especialment en la literatura francesa) és una identitat utilitzada en el càlcul d'Itô per trobar el diferencial d'una funció dependent del temps d'un procés estocàstic. Serveix com a contrapartida del càlcul estocàstic de la regla de la cadena. Es pot derivar heurísticament formant l'expansió de la sèrie de Taylor de la funció fins a les seves segones derivades i conservant termes fins al primer ordre en l'increment de temps i el segon ordre en l'increment del procés de Wiener. El lema s'utilitza àmpliament en finances matemàtiques, i la seva aplicació més coneguda és en la derivació de l'equació de Black-Scholes per als valors d'opcions.^[1]

Motivació

Suposem que tenim l'equació diferencial estocàstica ^[2]$${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t},}$$on B_t és un procés de Wiener i les funcions ${\displaystyle \mu _{t},\sigma _{t}}$ són funcions deterministes (no estocàstiques) del temps. En general, no és possible escriure una solució ${\displaystyle X_{t}}$ directament en termes de ${\displaystyle B_{t}.}$ Tanmateix, formalment podem escriure una solució integral ^[3]

$${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\ dB_{s}.}$$Aquesta expressió ens permet llegir fàcilment la mitjana i la variància de ${\displaystyle X_{t}}$ (que no té moments superiors). En primer lloc, observeu que cada ${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}}$ individualment té una mitjana 0, de manera que el valor d'expectativa de ${\displaystyle X_{t}}$ és simplement la integral de la funció de deriva:$${\displaystyle \mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.}$$De la mateixa manera, perquè el ${\displaystyle dB}$ els termes tenen variància 1 i no hi ha correlació entre si, la variància de ${\displaystyle X_{t}}$ és simplement la integral de la variància de cada pas infinitesimal en la marxa aleatòria:

$${\displaystyle \mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.}$$Tanmateix, de vegades ens trobem davant d'una equació diferencial estocàstica per a un procés més complex ${\displaystyle Y_{t},}$ en què el procés apareix als dos costats de l'equació diferencial. És a dir, diguem$${\displaystyle dY_{t}=a_{1}(Y_{t},t)\ dt+a_{2}(Y_{t},t)\ dB_{t},}$$per a algunes funcions ${\displaystyle a_{1}}$ i ${\displaystyle a_{2}.}$ En aquest cas, no podem escriure immediatament una solució formal com vam fer per al cas més senzill anterior. En canvi, esperem escriure el procés ${\displaystyle Y_{t}}$ en funció d'un procés més senzill ${\displaystyle X_{t}}$ prenent el formulari anterior. És a dir, volem identificar tres funcions ${\displaystyle f(t,x),\mu _{t},}$ i ${\displaystyle \sigma _{t},}$ de tal manera que ${\displaystyle Y_{t}=f(t,X_{t})}$ i ${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t}.}$ A la pràctica, s'utilitza el lema d'Ito per trobar aquesta transformació. Finalment, un cop hem transformat el problema en el tipus més simple de problema, podem determinar els moments mitjans i superiors del procés.^[4]

Referències

1. «Ito's Lemma | QuantStart» (en anglès). https://www.quantstart.com.+[Consulta: 24 agost 2023].
2. «Lesson 4, Ito’s lemma» (en anglès). https://math.nyu.edu.+[Consulta: 23 agost 2023].
3. Weisstein, Eric W. «Ito's Lemma» (en anglès). [Consulta: 24 agost 2023].
4. «Itˆo calculus in a nutshell» (en anglès). https://quantum.phys.cmu.edu.+[Consulta: 23 agost 2023].