Matriu de Toeplitz

En àlgebra lineal, una matriu de Toeplitz o matriu de constants diagonals, anomenada després d'Otto Toeplitz, és una matriu en la qual cada diagonal descendent d'esquerra a dreta és constant. Per exemple, la matriu següent és una matriu de Toeplitz: ^[1]

${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\f&a&b&c&d\\g&f&a&b&c\\h&g&f&a&b\\i&h&g&f&a\end{bmatrix}}.}$

Qualsevol matriu ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ de la forma

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\cdots &\cdots &a_{-(n-1)}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}}$

és una matriu de Toeplitz. Si el ${\displaystyle i,j}$ element de ${\displaystyle A}$ es denota ${\displaystyle A_{i,j}}$ llavors tenim

${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+1,j+1}=a_{i-j}.}$

Una matriu de Toeplitz no és necessàriament quadrada.^[2]

Resolució d'un sistema Toeplitz

Una equació matricial de la forma

${\displaystyle Ax=b}$

s'anomena sistema Toeplitz si ${\displaystyle A}$ és una matriu de Toeplitz. Si ${\displaystyle A}$ és un ${\displaystyle n\times n}$ Toeplitz matriu, llavors el sistema té com a màxim només ${\displaystyle 2n-1}$ valors únics, més que ${\displaystyle n^{2}}$. Per tant, podríem esperar que la solució d'un sistema Toeplitz fos més fàcil, i de fet és així.

Els sistemes Toeplitz es poden resoldre mitjançant algorismes com l'algoritme de Schur o l'algoritme de Levinson en ${\displaystyle O(n^{2})}$ temps. S'ha demostrat que les variants d'aquest últim són feblement estables (és a dir, presenten estabilitat numèrica per a sistemes lineals ben condicionats). Els algorismes també es poden utilitzar per trobar el determinant d'una matriu de Toeplitz ${\displaystyle O(n^{2})}$ temps.

Una matriu de Toeplitz també es pot descompondre (és a dir, factoritzar) en temps ${\displaystyle O(n^{2})}$. L'algorisme de Bareiss per a una descomposició LU és estable. Una descomposició LU proporciona un mètode ràpid per resoldre un sistema Toeplitz, i també per calcular el determinant.^[3]

Propietats generals

• An La matriu de Toeplitz es pot definir com una matriu on , per a constants. El conjunt de Les matrius de Toeplitz són un subespai de l'espai vectorial de matrius (sota suma matricial i multiplicació escalar).
• Es poden afegir dues matrius de Toeplitz temps (emmagatzemant només un valor de cada diagonal) i multiplicat per temps.
• Les matrius de Toeplitz són persimètriques. Les matrius de Toeplitz simètriques són tant centrosimètriques com bisimètriques.
• Les matrius de Toeplitz també estan estretament relacionades amb les sèries de Fourier, perquè l'operador de multiplicació per un polinomi trigonomètric, comprimit a un espai de dimensions finites, es pot representar amb aquesta matriu. De la mateixa manera, es pot representar la convolució lineal com a multiplicació per una matriu de Toeplitz.
• Les matrius de Toeplitz es desplacen de manera asimptòtica. Això significa que es diagonalitzen en la mateixa base quan la dimensió de fila i columna tendeix a l'infinit.

• Per a les matrius de Toeplitz simètriques, hi ha la descomposició

${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}A=GG^{\operatorname {T} }-(G-I)(G-I)^{\operatorname {T} }}$

on és la part triangular inferior de ${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}A}$.

• La inversa d'una matriu de Toeplitz simètrica no singular té la representació ${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\alpha _{0}}}(BB^{\operatorname {T} }-CC^{\operatorname {T} })}$

on i són matrius de Toeplitz triangulars inferiors i és una matriu triangular estrictament inferior.^[4]

Referències

1. «[https://ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf Toeplitz and Circulant Matrices: A review]» (en anglès). [Consulta: 11 maig 2024].
2. Weisstein, Eric W. «Toeplitz Matrix» (en anglès). [Consulta: 11 maig 2024].
3. «Meet the Toeplitz matrix» (en anglès). [Consulta: 11 maig 2024].
4. «Every Matrix is a Product of Toeplitz Matrices» (en anglès). [Consulta: 11 maig 2024].