Mètode de Newton

En càlcul numèric, el mètode de Newton, o mètode de Newton-Raphson, és un algorisme per tal de trobar aproximacions del zero d'una funció amb valors reals.

Història

El mètode Newton va ser descobert per Isaac Newton i publicat al Method of Fluxions el 1736. Encara que aquest mètode també sigui descrit per Joseph Raphson a Analysis Aequationum el 1690, cal dir que el Method of Fluxions ja havia estat escrit el 1671.

El mètode

Suposem que la funció ${\displaystyle f\,}$ és contínuament diferenciable dues vegades a l'interval ${\displaystyle \left[a,b\right]\,}$, o sigui ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}\left[a,b\right]\,}$. I existeix un zero de la funció en aquest interval. Direm que ${\displaystyle \alpha \in \left[a,b\right]\,}$ és la solució si ${\displaystyle f\left(\alpha \right)=0\,}$.

Sigui ${\displaystyle x_{0}\in \left[a,b\right]\,}$ una aproximació a la solució ${\displaystyle \alpha \,}$ tal que ${\displaystyle f'\left(x_{0}\right)\neq 0\,}$. Si escrivim el polinomi de Taylor de primer grau per a ${\displaystyle f\left(x\right)\,}$ al voltant de ${\displaystyle x_{0}\,}$, tindrem: ${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f^{\prime }(x)+{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}f^{\prime \prime }(\xi (x))\,}$

Però com que ${\displaystyle f(\alpha )=0\,}$, aquest anterior polinomi de Taylor, el podem escriure de la forma: ${\displaystyle 0=f(x_{0})+(\alpha -x_{0})f^{\prime }(x)+{\frac {(\alpha -x_{0})^{2}}{2}}f^{\prime \prime }(\xi (\alpha ))\,}$.

En aquest punt, el mètode de Newton suposa que el terme ${\displaystyle (\alpha -x_{0})^{2}\,}$ serà menyspreable, i que: ${\displaystyle 0\approx f(x_{0})+(\alpha -x_{0})f'(x)\,}$,

i aïllant ${\displaystyle \alpha \,}$:

${\displaystyle \alpha \approx x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}\,}$,

que ha de ser una millor aproximació cap a ${\displaystyle \alpha \,}$. Anomenem ${\displaystyle x_{1}\,}$ a aquesta millor aproximació. Per inducció definim una successió de valors de ${\displaystyle x_{n}\,}$, que es pot escriure de la forma: ${\displaystyle x_{n}=x_{(n-1)}-{\frac {f(x_{(n-1)})}{f'(x_{(n-1)})}}\,}$, amb ${\displaystyle n\geq 1\,}$.

Imatge gràfica

L'aproximació gràfica és la següent: S'escull un valor de l'abscissa raonablement pròxim a l'autèntic zero. En aquest punt, es reemplaça la corba per la seva tangent, i es calcula el zero d'aquesta recta tangent. Aquest zero, normalment, és més pròxim al zero de la funció, que el valor inicial. Aquest procés es reitera, fins a arribar a una aproximació que es dona per bona. En el cas de la gràfica, a partir de ${\displaystyle x_{0}\,}$, s'anirà trobant la successió ${\displaystyle x_{1},x_{2},...\,}$, fins a arribar a un cert valor que es donarà com a solució de ${\displaystyle \alpha \,}$.

Observacions

La fallada d'aquest mètode, normalment ve motivada per l'anul·lació del valor de la derivada en algun punt entre el valor del zero de la funció i el valor ${\displaystyle x_{0}\,}$ inicial que s'hagi agafat com aproximació d'arrencada. No cal dir que l'eficiència d'aquest mètode també està a saber trobar una aproximació inicial suficientment pròxima a la solució.

Exemple

Suposem que es vulgui trobar un valor de la ${\displaystyle x\,}$ que fa que ${\displaystyle x-\cos x=0\,}$. Es pot intuir que existeix un valor entre 0 i 1 que ha de complir aquesta condició.

La derivada de la funció és: ${\displaystyle 1+\sin x\,}$, sempre és >0.

Es pot agafar com a valor d'inici: ${\displaystyle x_{0}=0.5\,}$.

I d'aquí:

${\displaystyle x_{1}=0.5-{\frac {0.5-\cos 0.5}{1+\sin 0.5}}=0.75522\,}$

${\displaystyle x_{2}=0.75522-{\frac {0.75522-\cos 0.75522}{1+\sin 0.75522}}=0.73914\,}$

${\displaystyle x_{3}=0.73914-{\frac {0.73914-\cos 0.73914}{1+\sin 0.73914}}=0.73909\,}$

${\displaystyle x_{4}=0.73909-{\frac {0.73909-\cos 0.73909}{1+\sin 0.73909}}=0.73909\,}$

Valor que evidentment soluciona el problema, dins l'aproximació en què s'ha treballat.

Algorisme

Algorisme Mètode_Newton
funció func(x:real): real; /retorna el valor de la funció en x.
funció deriv(x:real): real;/retorna el valor de la derivada en x.
 
var.x0=W: real;/W allunyat de V, per evitar que |x0-x1|<Tol.
x1=V: real;	/V=aproximació inicial.
Tol: real;/Tol=marge màxim d'error que s'acceptarà.
n=N: enter;/controla el número d'iteracions, màxim N.
 
fer 
mentre [n>0] i [|x0-x1|>Tol] fer
x0=x1;
x1=x0-func(x0)/deriv(x0); 
n=n-1;
fi mentre;
si n>0
SORTIDA=x1;
altrament
SORTIDA=ERROR;
fi si;
fi procés;

Generalització

Es pot també utilitzar el mètode de Newton per tal de resoldre sistemes de n equacions (generalment no lineals), això representa trobar els zeros de les funcions contínuament derivables ${\displaystyle F:R^{n}\rightarrow R^{n}\,}$.

Si designem per ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} )\,}$ la matriu jacobiana d'aquest sistema de funcions, el mètode de Newton en aquest cas, es pot escriure amb el següent procés iteratiu:

${\displaystyle \mathbf {x^{k}=x^{(k-1)}-J(x^{(k-1)})^{-1}F(x^{(k-1)})} \,}$.

Expressió que recorda força l'anterior.

Vegeu també

• Mètode de Halley