Nombre de Pisot

En matemàtiques, un Nombre de Pisot-Vijayaraghavan, també anomenat simplement Nombre de Pisot o Nombre PV, és un enter algebraic real estrictament superior a 1, que té tots els seus elements conjugats de valor absolut estrictament inferior a 1.

Per exemple, el nombre enter quadràtic ${\displaystyle \alpha \ =a+b{\sqrt {d}}\,}$, en el que ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ són tots dos enters o la meitat d'un enter senar, admet un conjugat ${\displaystyle \alpha '=a-b{\sqrt {d}}\,}$; les condicions perquè sigui Nombre de Pisot són, doncs:

${\displaystyle \alpha >1\quad {\text{i}}\quad -1<\alpha '<1.}$

Aquestes condicions són satisfetes pel nombre auri ${\displaystyle \varphi }$, ja que:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,6180339887...>1\quad {\text{i}}\quad \varphi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {-1}{\varphi }}.}$

La condició general va ser estudiada per G. H. Hardy en relació amb un problema d'aproximació diofàntina. Aquest treball va ser estudiat per Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902-1955), un matemàtic indi de la regió de Madras que va anar a Oxford per a treballar amb Hardy a mitjans dels anys 20. Aquesta mateixa condició apareix també a certs problemes sobre les sèries de Fourier i va ser estudiat més tard per Charles Pisot. El nom, format per aquests dos autors, es fa servir actualment de forma generalitzada.

Els nombres de Pisot-Vijayaraghavan poden ser utilitzats per a generar nombres quasi enters: la n-èsima potència d'un nombre de Pisot tendeix a un enter quan ${\displaystyle n}$ tendeix a l'infinit. Per exemple,

• ${\displaystyle \varphi ^{21}=24~476,000~040~9}$
• ${\displaystyle \varphi ^{22}=39~602,999~974~7}$
• ${\displaystyle \varphi ^{23}=64~079,000~015~6}$

Aquest efecte és més pronunciat en les nombres de Pisot-Vijayaraghavan engendrats a partir d'equacions de grau més alt.

Aquesta propietat prové del fet que per a cada ${\displaystyle n}$, la suma de les n-èsimes potències d'un enter algebraic ${\displaystyle x}$ i dels seus conjugats és exactament un enter; quan ${\displaystyle x}$ és un nombre de Pisot, les n-èsimes potències dels (altres) conjuguats tendeixen vers ${\displaystyle 0}$ quan ${\displaystyle n}$ tendeix vers l'infinit.

El nombre de Pisot-Vijayaraghavan més petit, conegut amb el nom de nombre plàstic ou nombre de plata, és l'única arrel real del polinomi ${\displaystyle x^{3}-x-1}$ (aproximadament 1,324717957 ...). Aquest nombre va ser identificat com el més petit per Raphaël Salem el 1944 i Carl Ludwig Siegel va demostrar que era el menor possible el mateix any. Siegel també va identificar el segon nombre de Pisot més petit com l'arrel positiva de ${\displaystyle x^{4}-x^{3}-1}$ (aproximadament 1,38027756 ...).

Llista de nombres de Pisot

Nombres de Pisot inferiors a 1,618 en ordre creixent.

	Valor	Arrel de...
1	1,3247179572447460260	${\displaystyle x^{3}-x-1\,}$
2	1,3802775690976141157	${\displaystyle x^{4}-x^{3}-1\,}$
3	1,4432687912703731076	${\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}-1\,}$
4	1,4655712318767680267	${\displaystyle x^{3}-x^{2}-1\,}$
5	1,5015948035390873664	${\displaystyle x^{6}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-1\,}$
6	1,5341577449142669154	${\displaystyle x^{5}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}$
7	1,5452156497327552432	${\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}-1\,}$
8	1,5617520677202972947	${\displaystyle x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1\,}$
9	1,5701473121960543629	${\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{2}-1\,}$
10	1,5736789683935169887	${\displaystyle x^{8}-x^{7}-x^{6}+x^{2}-1\,}$
11	1,5900053739013639252	${\displaystyle x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}$
12	1,5911843056671025063	${\displaystyle x^{9}-x^{8}-x^{7}+x^{2}-1\,}$
13	1,6013473337876367242	${\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}$
14	1,6017558616969832557	${\displaystyle x^{10}-x^{9}-x^{8}+x^{2}-1\,}$
15	1,6079827279282011499	${\displaystyle x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}$
16	1,6081283851873869594	${\displaystyle x^{11}-x^{10}-x^{9}+x^{2}-1\,}$
17	1,6119303965641198198	${\displaystyle x^{9}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}$
18	1,6119834212464921559	${\displaystyle x^{12}-x^{11}-x^{10}+x^{2}-1\,}$
19	1,6143068232571485146	${\displaystyle x^{11}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}$
20	1,6143264149391271041	${\displaystyle x^{13}-x^{12}-x^{11}+x^{2}-1\,}$
21	1,6157492027552106107	${\displaystyle x^{11}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}$
22	1,6157565175408433755	${\displaystyle x^{14}-x^{13}-x^{12}+x^{2}-1\,}$
23	1,6166296843945727036	${\displaystyle x^{13}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}$
24	1,6166324353879050082	${\displaystyle x^{15}-x^{14}-x^{13}+x^{2}-1\,}$
25	1,6171692963550925635	${\displaystyle x^{13}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}$
26	1,6171703361720168476	${\displaystyle x^{16}-x^{15}-x^{14}+x^{2}-1\,}$
27	1,6175009054313240144	${\displaystyle x^{15}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}$
28	1,6175012998129095573	${\displaystyle x^{17}-x^{16}-x^{15}+x^{2}-1\,}$
29	1,6177050699575566445	${\displaystyle x^{15}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}$
30	1,6177052198884550971	${\displaystyle x^{18}-x^{17}-x^{16}+x^{2}-1\,}$
31	1,6178309287889738637	${\displaystyle x^{17}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}$
32	1,6178309858778122988	${\displaystyle x^{19}-x^{18}-x^{17}+x^{2}-1\,}$
33	1,6179085817671650120	${\displaystyle x^{17}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}$
34	1,6179086035278053858	${\displaystyle x^{20}-x^{19}-x^{18}+x^{2}-1\,}$
35	1,6179565199535642392	${\displaystyle x^{19}-x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}$
36	1,6179565282539765702	${\displaystyle x^{21}-x^{20}-x^{19}+x^{2}-1\,}$
37	1,6179861253852491516	${\displaystyle x^{19}-x^{18}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}$
38	1,6179861285528618287	${\displaystyle x^{22}-x^{21}-x^{20}+x^{2}-1\,}$

Bibliografia

• Bertin, Marie José et al., Pisot and Salem Numbers. Birkhäuser, 1992. ISBN 9783764326487. (anglès)
• Boyd, D.W., « Pisot and Salem numbers in intervals of the real line », a Mathematics of Computation, Volum 32 (1978). Pàgines 1244–1260. (anglès)
• Mukunda, Keshav. Pisot and Salem Numbers from Polynomials of Height One^{[Enllaç no actiu]}. Simon Fraser University. Canadà, 2007 ISBN 9780494405741. (anglès)

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Nombre de Pisot» a MathWorld (en anglès).