Nombre de Proth

En teoria dels nombres, un nombre de Proth, anomenat així en honor del matemàtic francès François Proth, és un nombre enter de la forma:

${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$

on ${\displaystyle k}$ és un enter positiu senar i ${\displaystyle n}$ és un enter positiu tal que ${\displaystyle 2^{n}>k}$. Sense aquesta última condició, tots els nombres enters més grans que 1 serien nombres de Proth.^[1]

Els primers nombres de Proth són:^[2]

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, ...

Els nombres de Cullen (n·2ⁿ+1) i els nombres de Fermat són casos particulars dels nombres de Proth.

Nombres primers de Proth

Un nombre primer de Proth és un nombre de Proth que és, a la vegada, primer. Els primers nombres primers de Proth són:^[3]

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857.

La primalitat d'un nombre de Proth pot ser avaluada mitjançant el teorema de Proth,^[4] que diu que un nombre de Proth ${\displaystyle p}$ és primer si i només si existeix un nombre enter ${\displaystyle a}$ tal que es compleix la següent identitat:

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1\ {\pmod {p}}}$

El nombre primer de Proth més gran conegut l'any 2010 és el ${\displaystyle 19249\cdot 2^{13018586}+1}$.^[5] Va ser descobert per Konstantin Agafonov a través de l'aplicació distribuïda Seventeen or Bust.,^[6] que ho va enunciar el 5 de maig de 2007. És també el nombre primer més gran conegut no nombre de Mersenne.^[7]

Vegeu també

• Nombre de Sierpiński

Referències

1. Weisstein, Eric W., «Proth Number» a MathWorld (en anglès).
2. (successió A080075 a l'OEIS)
3. (successió A080076 a l'OEIS)
4. Weisstein, Eric W., «Proth's Theorem» a MathWorld (en anglès).
5. Chris Caldwell, The Top Twenty: Proth, from The Prime Pages.
6. Press Release by Seventeen or Bust Arxivat 2016-03-23 a Wayback Machine.. 5 May 2007.
7. Chris Caldwell, The Top Twenty: Largest Known Primes, from The Prime Pages.