Tipus constant matemàtica i nombre metàl·lic Valor 2,4142135623 Binari 10.0110101000001001111... Hexadecimal 2.6A09E667F3BCC908B2F... Expressió algebraica
1
+
2
{\displaystyle {1+{\sqrt {2}}}}
Fració contínua
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
⋱
{\displaystyle 2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}
En matemàtiques , el nombre platejat (també anomenat constant platejada o raó platejada ) δs és una constant matemàtica irracional que ve donada per:
δ
s
=
1
+
2
{\displaystyle \delta _{s}=1+{\sqrt {2}}}
El seu nom és una clara al·lusió al nombre d'or , de manera anàloga a la forma en què la proporció àuria és la proporció limitant de la successió de Fibonacci , el nombre platejat és la proporció limitant de la successió de Pell . El nom del nombre platejat no s'ha de confondre amb el nombre plàstic , que de vegades també rep el nom de nombre de plata .
La constant platejada (
δ
S
{\displaystyle \delta _{S}}
constant matemàtica irracional algebraica definida com:
δ
s
=
1
+
2
≈
2
,
4142135623730950
…
{\displaystyle \delta _{s}=1+{\sqrt {2}}\approx 2,4142135623730950\dots }
[ 1] És, per tant, solució del polinomi:
(
x
−
1
)
2
−
2
=
0
{\displaystyle ({x-1})^{2}-2=0}
El nombre invers al nombre platejat és igual a:
(
1
+
2
)
−
1
=
1
1
+
2
=
2
−
1
≈
0
,
4142135623
…
{\displaystyle ({1+{\sqrt {2}}})^{-1}={\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}-1\approx 0,4142135623\dots }
ja que, aplicant productes notables :
(
2
−
1
)
(
2
+
1
)
=
(
2
)
2
−
1
2
=
2
−
1
=
1
{\displaystyle ({{\sqrt {2}}-1})({{\sqrt {2}}+1})=({\sqrt {2}})^{2}-1^{2}=2-1=1}
A partir de la fracció contínua de la constant:
δ
S
=
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
⋱
.
{\displaystyle \delta _{S}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}\,.}
podem obtenir el valor de
δ
S
{\displaystyle \delta _{S}}
δ
S
=
2
+
1
δ
S
.
{\displaystyle \delta _{S}=2+{\cfrac {1}{\delta _{S}}}\,.}
δ
S
=
2
δ
S
+
1
δ
S
.
{\displaystyle \delta _{S}={\cfrac {2\delta _{S}+1}{\delta _{S}}}\,.}
δ
S
2
=
2
δ
S
+
1
δ
S
2
−
2
δ
S
−
1
=
0.
{\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1\;\quad \quad \delta _{S}^{2}-2\delta _{S}-1=0.}
Un nombre de Pisot és un nombre algebraic real estrictament superior a 1, que té tots els seus elements conjugats amb valor absolut estrictament inferior a 1. En aquest cas particular, el nombre platejat és solució del polinomi:
(
x
−
1
)
2
−
2
=
0
{\displaystyle {(x-1)}^{2}-2=0}
on les arrels són:
x
=
1
±
2
x
1
=
δ
S
x
2
≈
−
0
,
4142135624
…
{\displaystyle x=1\pm {\sqrt {2}}\;\quad x_{1}=\delta _{S}\quad x_{2}\approx -0,4142135624\dots }
x
2
{\displaystyle x_{2}}
Les potències de la raó platejada són:
δ
S
0
=
[
1
]
=
1
{\displaystyle \!\ \delta _{S}^{0}=[1]=1}
δ
S
1
=
δ
S
+
0
=
[
2
;
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
…
]
≈
2.41421
{\displaystyle \delta _{S}^{1}=\delta _{S}+0=[2;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 2.41421}
δ
S
2
=
2
δ
S
+
1
=
[
5
;
1
,
4
,
1
,
4
,
1
,
…
]
≈
5.82842
{\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1=[5;1,4,1,4,1,\dots ]\approx 5.82842}
δ
S
3
=
5
δ
S
+
2
=
[
14
;
14
,
14
,
14
,
…
]
≈
14.07107
{\displaystyle \delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2=[14;14,14,14,\dots ]\approx 14.07107}
δ
S
4
=
12
δ
S
+
5
=
[
33
;
1
,
32
,
1
,
32
,
…
]
≈
33.97056
{\displaystyle \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5=[33;1,32,1,32,\dots ]\approx 33.97056}
En general, segueixen amb el patró:
δ
S
n
=
K
n
δ
S
+
K
(
n
−
1
)
{\displaystyle \!\ \delta _{S}^{n}=K_{n}\delta _{S}+K_{(n-1)}}
on
K
n
=
2
K
(
n
−
1
)
+
K
(
n
−
2
)
K
0
=
1
;
K
1
=
2
{\displaystyle \!\ K_{n}=2K_{(n-1)}+K_{(n-2)}\quad \quad \quad \!\ K_{0}=1;\;\quad \!\ K_{1}=2}
d'on podem aïllar
K
n
{\displaystyle K_{n}}
K
n
=
1
2
2
(
δ
S
n
+
1
−
(
2
−
δ
S
)
n
+
1
)
{\displaystyle \!\ K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{(\delta _{S}^{n+1}-{(2-\delta _{S})}^{n+1})}}
Expressions platejades
0 0 + √1
1
1 ½ + √1¼
1.618033989
2 1 + √2
2.414213562
3 1½ + √3¼
3.302775638
4 2 + √5
4.236067978
5 2½ + √7¼
5.192582404
6 3 + √10
6.162277660
7 3½ + √13¼
7.140054945
8 4 + √17
8.123105626
9 4½ + √21¼
9.109772229
L'expressió general
[
m
;
m
,
m
,
…
]
=
1
2
(
m
+
m
2
+
4
)
{\displaystyle [m;m,m,\dots ]={\frac {1}{2}}\left(m+{\sqrt {m^{2}+4}}\right)}
expressió platejada . La raó daurada és l'expressió per a
m
=
1
{\displaystyle m=1}
m
=
2
{\displaystyle m=2}
[ 2]
La propietat de les potències del nombre platejat es pot generalitzar a totes les expressions platejades.
δ
m
n
=
K
n
δ
m
+
K
(
n
−
1
)
{\displaystyle \!\ \delta _{m}^{n}=K_{n}\delta _{m}+K_{(n-1)}}
on:
K
n
=
m
K
(
n
−
1
)
+
K
(
n
−
2
)
K
0
=
1
;
K
1
=
m
{\displaystyle \!\ K_{n}=mK_{(n-1)}+K_{(n-2)}\quad \quad \quad \!\ K_{0}=1;\;\quad \!\ K_{1}=m}
tenint que:
K
n
=
1
m
2
+
4
(
δ
m
n
+
1
−
(
m
−
δ
m
)
n
+
1
)
{\displaystyle \!\ K_{n}={\frac {1}{\sqrt {m^{2}+4}}}{(\delta _{m}^{n+1}-{(m-\delta _{m})}^{n+1})}}
D'altra banda, les expressions platejades tenen altres propietats interessants:
Si n és un nombre enter positiu i parell, es té que:
δ
m
n
−
⌊
δ
m
n
⌋
δ
m
−
n
=
δ
m
n
−
1
{\displaystyle \!\ {{\delta _{m}^{n}-\lfloor \delta _{m}^{n}\rfloor } \over \delta _{m}^{-n}}=\delta _{m}^{n}-1}
A més
1
δ
m
4
−
⌊
δ
m
4
⌋
+
⌊
δ
m
4
−
1
⌋
=
δ
(
m
4
+
4
m
2
+
1
)
{\displaystyle \!\ {1 \over {\delta _{m}^{4}-\lfloor \delta _{m}^{4}\rfloor }}+\lfloor \delta _{m}^{4}-1\rfloor =\delta _{(m^{4}+4m^{2}+1)}}
1
δ
m
6
−
⌊
δ
m
6
⌋
+
⌊
δ
m
6
−
1
⌋
=
δ
(
m
6
+
6
m
4
+
9
m
2
+
1
)
{\displaystyle \!\ {1 \over {\delta _{m}^{6}-\lfloor \delta _{m}^{6}\rfloor }}+\lfloor \delta _{m}^{6}-1\rfloor =\delta _{(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1)}}
I també:
δ
m
3
=
δ
(
m
3
+
3
m
)
{\displaystyle \!\ \delta _{m}^{3}=\delta _{(m^{3}+3m)}}
δ
m
5
=
δ
(
m
5
+
5
m
3
+
5
m
)
{\displaystyle \!\ \delta _{m}^{5}=\delta _{(m^{5}+5m^{3}+5m)}}
δ
m
7
=
δ
(
m
7
+
7
m
5
+
14
m
3
+
7
m
)
{\displaystyle \!\ \delta _{m}^{7}=\delta _{(m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m)}}
δ
m
9
=
δ
(
m
9
+
9
m
7
+
27
m
5
+
30
m
3
+
9
m
)
{\displaystyle \!\ \delta _{m}^{9}=\delta _{(m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m)}}
δ
m
11
=
δ
(
m
11
+
11
m
9
+
44
m
7
+
77
m
5
+
55
m
3
+
11
m
)
{\displaystyle \!\ \delta _{m}^{11}=\delta _{(m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m)}}
El valor de la constant platejada també compleix:
1
/
δ
m
=
δ
m
−
m
{\displaystyle \!\ 1/\delta _{m}=\delta _{m}-m}
La successió dels nombres de Pell ve definida per:
K
n
=
2
K
(
n
−
1
)
+
K
(
n
−
2
)
K
0
=
1
;
K
1
=
2
{\displaystyle \!\ K_{n}=2K_{(n-1)}+K_{(n-2)}\quad \quad \quad \!\ K_{0}=1;\;\quad \!\ K_{1}=2}
L'expressió d'aquesta sèrie és semblant a la sèrie de Fibonacci , successió de nombres naturals en què cada element és la suma dels dos elements anteriors, partint d'1 i 1 com a valors inicials de la sèrie. En la successió de Fibonacci, la proporció limitant és la proporció àuria , és a dir:
lim
n
→
∞
F
n
+
1
F
n
=
Φ
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\Phi }
En la successió de Pell, la proporció limitant és la constant platejada:
lim
n
→
∞
P
n
+
1
P
n
=
δ
S
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {P_{n+1}}{P_{n}}}=\delta _{S}}
El nombre platejat està íntimament relacionat amb resultats trigonomètrics de l'angle π ⁄ 8
sin
1
8
π
=
cos
3
8
π
=
1
2
2
−
2
=
1
2
δ
s
−
1
{\displaystyle \textstyle \sin {\tfrac {1}{8}}\pi =\cos {\tfrac {3}{8}}\pi ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\delta _{s}^{-1}}}}
Raó platejada en l'octàgon regular
cos
1
8
π
=
sin
3
8
π
=
1
2
2
+
2
=
1
2
δ
s
{\displaystyle \textstyle \cos {\tfrac {1}{8}}\pi =\sin {\tfrac {3}{8}}\pi ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\delta _{s}}}}
tan
1
8
π
=
cot
3
8
π
=
2
−
1
=
δ
s
−
1
{\displaystyle \textstyle \tan {\tfrac {1}{8}}\pi =\cot {\tfrac {3}{8}}\pi ={\sqrt {2}}-1=\delta _{s}^{-1}}
cot
1
8
π
=
tan
3
8
π
=
2
+
1
=
δ
s
{\displaystyle \textstyle \cot {\tfrac {1}{8}}\pi =\tan {\tfrac {3}{8}}\pi ={\sqrt {2}}+1=\delta _{s}}
Així doncs, l'àrea d'un octàgon de costat a ve donada per:
A
=
2
a
2
cot
1
8
π
=
2
(
1
+
2
)
a
2
=
2
δ
S
a
2
≃
4.828427
a
2
.
{\displaystyle A=\textstyle 2a^{2}\cot {\tfrac {1}{8}}\pi =2(1+{\sqrt {2}})a^{2}=2\delta _{S}a^{2}\simeq 4.828427a^{2}.}
Rectangle platejat Un rectangle platejat és un rectangle que té com a relació d'aspecte per analogia amb la raó daurada . Consfusament, el terme rectangle de plata també es pot referir a un rectangle de proporció
1
/
2
{\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}
rectangle A4 en referència a la mida del paper Din A4 , ja definida en l'ISO 216 .
![{\displaystyle \!\ \delta _{S}^{0}=[1]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28afdcfd1d2162e4d1c8916954483e60414aa9e3)
![{\displaystyle \delta _{S}^{1}=\delta _{S}+0=[2;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 2.41421}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da22da67490800e2358de670891d6f1a62824c5)
![{\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1=[5;1,4,1,4,1,\dots ]\approx 5.82842}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f21030c1b14c77c31ad8abb6aacd680e678fbbac)
![{\displaystyle \delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2=[14;14,14,14,\dots ]\approx 14.07107}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a027dc6a0219d4911b34b55f89eb6be29eb4a01)
![{\displaystyle \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5=[33;1,32,1,32,\dots ]\approx 33.97056}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8048daeeaf27de5d7ca01933e4f756099aec1e2)
![{\displaystyle [m;m,m,\dots ]={\frac {1}{2}}\left(m+{\sqrt {m^{2}+4}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad62b875e74f96898682f8264ece91815d9a8d68)
