Notació de Landau

En matemàtica, la Notació de Landau , també anomenada "o minúscula" i "O majúscula", és una notació per a la comparació asimptòtica de funcions, la qual cosa permet establir la cota inferior asimptòtica, la cota superior asimptòtica i la cota ajustada asimptòtica. Anomenada així per Edmund Landau, qui va desenvolupar la teoria.

Definició

La notació de Landau es defineix de la següent manera:

Si f, g són funcions complexes definides en un entorn d'un punt ${\displaystyle x_{0}}$, aleshores

• ${\displaystyle F=O(g)\,\!}$ quan ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$ si i només si hi ha un ${\displaystyle \epsilon >0}$ tal que ${\displaystyle |f(x)|\leq \epsilon |g(x)|}$ per a tot ${\displaystyle x}$ en un entorn de ${\displaystyle x_{0}\,\!}$.
• ${\displaystyle F=o(g)\,\!}$ quan ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$ si i només si per tot ${\displaystyle \epsilon >0}$ hem de ${\displaystyle |f(x)|<\epsilon |g(x)|\,\!}$ per a tot ${\displaystyle x}$ en un entorn de ${\displaystyle x_{0}\,\!}$.

Una versió una mica més restrictiva però més manejable que la definició anterior és la següent:

Siguin ${\displaystyle f(x)\,\!}$, ${\displaystyle g(x)\,\!}$ dues funcions definides per ${\displaystyle x>x_{0}.\,\!}$ i sigui ${\displaystyle g(x)\neq 0\ \forall x>x_{0}\,\!}$. Els símbols

${\displaystyle f=O(g)\,\!}$, ${\displaystyle f=o(g)\,\!}$

signifiquen respectivament que ${\displaystyle f(x)/g(x)\to 0\,\!}$ quan ${\displaystyle x\to -\infty \,\!}$, i que ${\displaystyle f(x)/g(x)\,\!}$ està tancat per ${\displaystyle x\,\!}$ prou gran. La mateixa notació és usada quan ${\displaystyle x\,\!}$ tendeix a un límit finit o ${\displaystyle -\infty \,\!}$, o també quan ${\displaystyle x\,\!}$ tendeix al seu límit a través d'una seqüència discreta de valors. En particular, una expressió és ${\displaystyle o(1)\,\!}$ o ${\displaystyle O(1)\,\!}$ si aquesta expressió tendeix a zero o aquesta fitada respectivament.

Dues funcions ${\displaystyle f(x)\,\!}$ i ${\displaystyle g(x)\,\!}$ definides en un veïnatge d'un punt ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ (finit o infinit) són cridades asimptòticament iguals si ${\displaystyle f(x)/g(x)\to 1\,\!}$ quan ${\displaystyle x\to x_{0}\,\!}$

Si les fraccions ${\displaystyle f(x)/g(x)\,\!}$, ${\displaystyle g(x)/f(x)\,\!}$ estan acotades en un veïnatge de ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ es diu que ${\displaystyle f(x)\,\!}$, ${\displaystyle g(x)\,\!}$ són del mateix ordre quan ${\displaystyle x\to x_{0}\,\!}$

Propietats

Context de les propietats

Siguin ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \,\!}$ i suposem que ${\displaystyle f\,\!}$ és una funció definida sobre un interval finit o infinit ${\displaystyle a\leq x<b\,\!}$ i és integrable en qualsevol interval ${\displaystyle (a,b')\,\!}$ amb ${\displaystyle b'<b\,\!}$ podem escriure

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t\quad x\in (a,b')\,\!}$

Sigui ${\displaystyle o_{0},o_{1},o_{2},\ldots \,\!}$ una successió de nombres i sigui

${\displaystyle O_{\nu }=o_{0}+o_{1}+\cdots +O_{\nu }\ \ (\nu =0,1,\ldots )\,\!}$

la mateixa notació serà utilitzada per altres lletres. Es tenen les següents propietats:

1. Suposeu que ${\displaystyle f(x)\,\!}$, ${\displaystyle g(x)\,\!}$ estan definides en ${\displaystyle a\leq x<b\,\!}$ i integrables en qualsevol ${\displaystyle (a,b')\,\!}$, que ${\displaystyle g(x)\geq 0\,\!}$ i que ${\displaystyle G(x)\to +\infty \,\!}$ quan ${\displaystyle x\to b\,\!}$. Si ${\displaystyle f(x)=o(g(x))\,\!}$ quan ${\displaystyle x\to b\,\!}$, aleshores també s'haurà de ${\displaystyle F(x)=o(G(x))\,\!}$
2. Siguin ${\displaystyle \{O_{\nu }\},\ \{v_{\nu }\},\ \,\!}$ dues successions de nombres, aquesta última positiva. Si ${\displaystyle \{O_{\nu }\}=o\{v_{\nu }\},\ \,\!}$ i ${\displaystyle V_{\nu }\to +\infty \,\!}$, llavors ${\displaystyle O_{\nu }=o(V_{\nu })\,\!}$
3. Suposeu que la sèrie ${\displaystyle \sum v_{\nu }\,\!}$ convergeix, que els ${\displaystyle v\,\!}$ 's són positius, i que ${\displaystyle O_{\nu }=o(v_{\nu })\,\!}$. llavors ${\displaystyle O_{\nu }+U_{\nu +1}+\cdots =o(v_{\nu }+v_{\nu +1}+\cdots )\,\!}$
4. Sigui ${\displaystyle f(x)\,\!}$ una funció positiva, monòtona i finita definida per ${\displaystyle x\geq 0\,\!}$ i sigui ${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f\mathrm {d} t,\quad F_{n}=f(0)+f(1)+\cdots +f(n).\,\!}$ Llavors
   ${\displaystyle (i)}$ si ${\displaystyle f(x)\,\!}$ decrementa, ${\displaystyle F(n)-f_{n}}$ tendeix a un límit finit
   ${\displaystyle (ii)}$ si ${\displaystyle f(x)\,\!}$ s'incrementa, ${\displaystyle F(n)\leq F_{n}\leq F(n)-f(n)_{n}\to +\infty }$
5. Sigui ${\displaystyle f(x)\,\!}$ positiva, finita i monòtona per ${\displaystyle x\geq 0\,\!}$. Si es compleix ${\displaystyle (i)}$ ${\displaystyle f(x)\,\!}$ s'incrementa i ${\displaystyle F(x)\to \infty \,\!}$ o ${\displaystyle (ii)}$ ${\displaystyle f(x)\,\!}$ s'incrementa i ${\displaystyle f(x)=o(F(x))\,\!}$, llavors ${\displaystyle F_{n}\,\!}$ és asimptòticament igual a ${\displaystyle F(n)\,\!}$

${\displaystyle \,\!}$

Vegeu també

• Cota superior asimptòtica
• Cota inferior asimptòtica
• Cota ajustada asimptòtica

Bibliografia

• Trigonometric Sèries vol 1 A. Zygmund