Octàgon

Octàgon

Tipus	polígon i octàtop
Forma de les cares	aresta (8)
Configuració de vèrtex	segment
Elements
Vèrtexs	8
Arestes	8
Sèrie
← heptàgon enneàgon →
Més informació
MathWorld	Octagon

Octàgon regular

En geometria, un octàgon és un polígon amb vuit costats i vuit angles.^[1] El nom prové del del grec ὀκτάγωνον via el llatí.^[2] Un octàgon té 20 diagonals i la suma de tots els angles interiors és 1080 graus o ${\displaystyle 6\pi }$ radians.

Octàgon regular

La construcció d'un octàgon regular amb regle i compàs és possible. L'animació mostra com fer-la, seguint els passos de l'1 fins al 18, i tenint en compte que el radi del compàs no varia entre els passos 7 i 10.

En un octàgon regular, tots els costats i angles del qual són iguals. Els costats s'uneixen formant un angle de 135º o ${\displaystyle 3\pi /4}$ rad. Cada angle exterior és de 45° o ${\displaystyle \pi /4}$ rad.

Perímetre

El perímetre de l'octàgon regular de costat ${\displaystyle L}$ és

${\displaystyle P=6\cdot L}$

O bé, en funció de l'apotema, ${\displaystyle a_{p}}$,^[3]

${\displaystyle P=16\cdot a_{p}\cdot {\frac {\sin(22.5^{\circ })}{\sin(67.5^{\circ })}}=16\cdot a_{p}\cdot \tan(\pi /8)\approx a_{p}\cdot 6.62747}$

Apotema

L'apotema de l'octàgon regular de costat ${\displaystyle L}$ és ^[3]

${\displaystyle a_{p}={\frac {L}{2}}\cdot {\frac {\sin(67.5^{\circ })}{\sin(22.5^{\circ })}}={\frac {L}{2}}\cdot \cot(\pi /8)\approx L\cdot 1.20711}$

Àrea

L'àrea de l'octàgon regular de costat ${\displaystyle L}$ i apotema ${\displaystyle a_{p}}$ és

${\displaystyle A=4\cdot a_{p}\cdot L}$

O bé, només en funció del costat, ${\displaystyle L}$,^[3]

${\displaystyle A=2\cdot L^{2}\cdot {\frac {\sin(67.5^{\circ })}{\sin(22.5^{\circ })}}=2\cdot L^{2}\cdot \cot(\pi /8)\approx L^{2}\cdot 4.82843}$

O també, només en funció de l'apotema, ${\displaystyle a_{p}}$,^[3]

${\displaystyle A=8\cdot a_{p}^{2}\cdot {\frac {\sin(22.5^{\circ })}{\sin(67.5^{\circ })}}=8\cdot a_{p}^{2}\cdot \tan(\pi /8)\approx a_{p}^{2}\cdot 3.31371}$

L'octàgon regular té símbol de Schläfli {8}.^[4]

Al dia a dia

• 
  Els paraigües solen tenir forma vuitavada.

Figures geomètriques derivades

• 
  El polígon estrellat de 8 vèrtexs anomenat octagram, {8/3} en símbol de Schläfli, està comprès per un octàgon regular.
• 
  La figura de vèrtex del políedre uniforme, gran dirhombicosidodecaèdre té la forma d'octagon irregular.
• 
  Les bases d'un prisma octagonal són octàgons.
• 
  Un mosaic amb dos octàgons a cada vèrtex.
• 
  El cuboctàedre truncat conté 6 cares octagonals.
• 
  Les bases d'un antiprisma octagonal són octàgons.

Referències

1. «octàgon». Gran Diccionari de la Llengua Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
2. Bruguera, Jordi; Fluvià i Figueras, Assumpta. «octàgon». A: Diccionari etimològic. 4a edició 2004. Barcelona: Grup Enciclopèdia, 1996, p. 648. ISBN 9788441225169. 
3. Sapiña, R. «Calculadora de l'àrea i perímetre de l'octàgon regular» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 16 juliol 2020].
4. Wenninger, Magnus J. Cambridge University Press. Models de políedres (en anglès), 1974, p. 9. ISBN 9780521098595. 

Viccionari