Pentació

Els primers tres valors de l'expressió x[5]2. El valor de 3[5]2 és al voltant de 7.626 × 10¹²; els resultats per a valors de x més grans són massa grans per aparèixer a la gràfica.

En matemàtiques, la pentació és la hiperoperació que li segueix a la tetració i és anterior a la hexació. Es defineix com la iteració (repetició) de tetracions, tal com la tetració és la iteració de la potenciació.^[1] És una operació binària definida amb dos nombres a i b, on a és «tetrada» a si mateix b vegades. Per exemple, usant la notació d'hiperoperació per a la pentació i tetració, ${\displaystyle 2[5]3}$ vol dir «tetrar» 2 a si mateix 3 vegades, o ${\displaystyle 2[4](2[4]2)}$. Això es pot després reduir a ${\displaystyle 2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.}$

Etimologia

La paraula pentació (en anglès, «pentation») va ser encunyada per Reuben Goodstein en 1947 de les arrels penta- (cinc) i iteració. És part del seu esquema general per a nomenar les hiperoperacions.^[2]

Notació

No existeix un consens general per a la notació de la pentació; per tant hi ha diverses maneres d'escriure l'operació. No obstant això, unes s'usen més que altres i hi ha diferents avantatges entre una i altra forma d'ús.

• La pentació es pot escriure com una hiperoperació com ${\displaystyle a[5]b}$. En aquest format, ${\displaystyle a[3]b}$ pot ser interpretat com el resultat d'aplicar repetidament la funció ${\displaystyle x\mapsto a[2]x}$, per ${\displaystyle b}$ repeticions, començant amb el número 1. De forma anàloga, ${\displaystyle a[4]b}$, la tetració, representa el valor obtingut a l'aplicar repetidament la funció ${\displaystyle x\mapsto a[3]x}$, per ${\displaystyle b}$ repeticions, començant amb el número 1, i la pentació ${\displaystyle a[5]b}$ representa el valor obtingut a l'aplicar repetidament la funció ${\displaystyle x\mapsto a[4]x}$, per ${\displaystyle b}$ repeticions, començant amb el número 1.^[3] Aquesta serà la notació usada en la resta de l'article.
• En la notació de fletxa de Knuth, ${\displaystyle a[5]b}$ es representa com ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$ o ${\displaystyle a\uparrow ^{3}b}$. En aquesta notació, ${\displaystyle a\uparrow b}$ representa la funció de potenciació ${\displaystyle a^{b}}$ i ${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$ representa la tetració. L'operació pot adaptar fàcilment la hexació afegint una altra fletxa.
• En la notació de fletxes encadenades de Conway, ${\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}$^[4]
• Una altra notació proposta és ${\displaystyle {_{b}a}}$, encara que aquesta no és extensible a hiperoperacions de major ordre.^[5]

Exemples

Els valors de la funció de pentació també poden ser obtinguts dels valors en la quarta filera de valors en una variant de la funció d'Ackermann: si ${\displaystyle A(n,m)}$ es defineix com la recurrència d'Ackermann ${\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))}$ amb les condicions inicials ${\displaystyle A(1,n)=an}$ i ${\displaystyle A(m,1)=a}$, llavors ${\displaystyle a[5]b=A(4,b)}$.^[6]

Com la tetració, la seva operació base, no ha estat estesa a exponents no-enters, la pentació ${\displaystyle a[5]b}$ actualment només està definida per a valors enters de a i b on ${\displaystyle a>0}$ i ${\displaystyle b\geq -1}$, i uns pocs valors enters addicionals que podrien estar únicament definits. Com totes les hiperoperacions d'ordre 3 i més grans, la pentació té els següents casos trivials (identitats) que són veritables per a tots els valors d' a i b en el seu domini:

• ${\displaystyle 1[5]b=1}$
• ${\displaystyle a[5]1=a}$

Addicionalment, es pot definir:

• ${\displaystyle a[5]0=1}$
• ${\displaystyle a[5](-1)=0}$

A més dels casos trivials a dalt exposats, la pentació genera nombres extremadament grans molt ràpidament tal que només hi ha uns pocs casos no-trivials que produeixen nombres que poden ser escrits en notació convencional, com es mostra a continuació:

• ${\displaystyle 2[5]2=2[4]2=2^{2}=4}$
• ${\displaystyle 2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536}$
• ${\displaystyle 2[5]4=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (una torre d'exponents de 65.536 números d'altura) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)}$ (es mostra aquí en notació d'exponents iterats, ja que és massa gran per ser escrit en notació convencional. Cal notar que ${\displaystyle \exp _{10}(n)=10^{n}}$)
• ${\displaystyle 3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}$
• ${\displaystyle 3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (una torre d'exponents de 7,625,597,484,987 números de altura) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}$
• ${\displaystyle 4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)}$ (un nombre amb més de ${\displaystyle 10^{153}}$ dígits)
• ${\displaystyle 5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)}$ (un nombre amb més de ${\displaystyle 10^{10^{2184}}}$ dígits)

Extensió a números negatius o zero

Mitjançant l'ús del superlogaritme, ${\displaystyle a\uparrow ^{3}b}$ es pot definir quan b és negatiu o zero per a un nombre limitat de valors de b. Per tant, per a tots els valors enters estrictament positius de a, la pentació negativa es defineix de la manera següent:

• ${\displaystyle a\uparrow ^{3}0=\operatorname {slog} _{a}a=1}$ si a > 1.
• ${\displaystyle a\uparrow ^{3}-1=\operatorname {slog} _{a}1=0}$ si a > 1.
• ${\displaystyle a\uparrow ^{3}-2=\operatorname {slog} _{a}0=-1}$ si a > 1.

Pel que fa als valors negatius de a, només ${\displaystyle a=-1}$ pot donar lloc a una extensió. En aquest cas, segons els valors de l'enter positiu b, els tres valors possibles que obtenim ${\displaystyle -1\uparrow ^{3}b}$ són indicats de la següent manera:

• ${\displaystyle -1\uparrow ^{3}b={^{1}{-1}}=-1}$ si b és congruent amb 1 mod 3.
• ${\displaystyle -1\uparrow ^{3}b={^{-1}{-1}}=0}$ si b és congruent amb 2 mod 3.
• ${\displaystyle -1\uparrow ^{3}b={^{0}{-1}}=1}$ si b és congruent amb 0 mod 3.

Referències

1. Oettinger, Anthony G.; Aiken, Howard «Retiring computer pioneer» (en anglès). Communications of the ACM, 5(6), pàg. 298–299. DOI: 10.1145/367766.367776. ISSN: 0001-0782.
2. «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (en anglès). Journal of Symbolic Logic, 12(4), 02-07-2007, pàg. 123–129. ISSN: 0022-4812.
3. Knuth, Donald E. «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness» (en anglès). Science, 194(4271), 17-12-1976, pàg. 1235–1242. DOI: 10.1126/science.194.4271.1235. ISSN: 0036-8075. PMID: 17797067.
4. Conway, John Horton; Guy, Richard. The Book of Numbers. Springer, 1996, p. 61. ISBN 9780387979939. 
5. ^{[enllaç sense format]} http://www.tetration.org/Tetration/index.html Arxivat 2021-05-06 a Wayback Machine.
6. Nambiar «Ackermann functions and transfinite ordinals» (en anglès). Applied Mathematics Letters [Nova Delhi], 8(6), pàg. 51-53.

Vegeu també

• Nombres grans