Polinomi de Neumann

En matemàtiques, un polinomi de Neumann, introduït per Carl Neumann per al cas especial $\alpha =0$ , és un polinomi en 1/z s'utilitza per desenvolupar funcions en termes de funcions de Bessel.^[1]

Els primers polinomis són

O_{0}^{(\alpha )}(t)={\frac {1}{t}},

O_{1}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {\alpha +1}{t^{2}}},

O_{2}^{(\alpha )}(t)={\frac {2+\alpha }{t}}+4{\frac {(2+\alpha )(1+\alpha )}{t^{3}}},

O_{3}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {(1+\alpha )(3+\alpha )}{t^{2}}}+8{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )}{t^{4}}},

O_{4}^{(\alpha )}(t)={\frac {(1+\alpha )(4+\alpha )}{2t}}+4{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(4+\alpha )}{t^{3}}}+16{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )}{t^{5}}}.

Una forma general del polinomi és

O_{n}^{(\alpha )}(t)={\frac {\alpha +n}{2\alpha }}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{n-k}{\frac {(n-k)!}{k!}}{-\alpha  \choose n-k}\left({\frac {2}{t}}\right)^{n+1-2k},

i tenen la funció generatriu

{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {1}{t-z}}=\sum _{n=0}O_{n}^{(\alpha )}(t)J_{\alpha +n}(z),

on J són funcions de Bessel.

Per a desenvolupar una funció f en la forma

f(z)=\sum _{n=0}a_{n}J_{\alpha +n}(z)\,

per a $|z|<c$ , fem

a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=c'}{\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}}f(z)O_{n}^{(\alpha )}(z)\,dz,

on $c'<c$ i c és la distància de la singularitat més propera de $z^{-\alpha }f(z)$ de $z=0$ .

Exemples

Un exemple és el desenvolupament

\left({\tfrac {1}{2}}z\right)^{s}=\Gamma (s)\cdot \sum _{k=0}(-1)^{k}J_{s+2k}(z)(s+2k){-s \choose k},

o més general, la fórmula Sonine^[2]

e^{i\gamma z}=\Gamma (s)\cdot \sum _{k=0}i^{k}C_{k}^{(s)}(\gamma )(s+k){\frac {J_{s+k}(z)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{s}}}.

on $C_{k}^{(s)}$ és el polinomi de Gegenbauer. Llavors,

{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k}}{(2k-1)!}}J_{s}(z)=\sum _{i=k}(-1)^{i-k}{i+k-1 \choose 2k-1}{i+k+s-1 \choose 2k-1}(s+2i)J_{s+2i}(z),

\sum _{n=0}t^{n}J_{s+n}(z)={\frac {e^{\frac {tz}{2}}}{t^{s}}}\sum _{j=0}{\frac {\left(-{\frac {z}{2t}}\right)^{j}}{j!}}{\frac {\gamma \left(j+s,{\frac {tz}{2}}\right)}{\,\Gamma (j+s)}}=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {zx^{2}}{2t}}}{\frac {zx}{t}}{\frac {J_{s}(z{\sqrt {1-x^{2}}})}{{\sqrt {1-x^{2}}}^{s}}}\,dx,

la funció hipergeomètrica confluent

M(a,s,z)=\Gamma (s)\sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{t}}\right)^{k}L_{k}^{(-a-k)}(t){\frac {J_{s+k-1}\left(2{\sqrt {tz}}\right)}{({\sqrt {tz}})^{s-k-1}}},

i en particular

{\frac {J_{s}(2z)}{z^{s}}}={\frac {4^{s}\Gamma \left(s+{\frac {1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}e^{2iz}\sum _{k=0}L_{k}^{(-s-1/2-k)}\left({\frac {it}{4}}\right)(4iz)^{k}{\frac {J_{2s+k}\left(2{\sqrt {tz}}\right)}{{\sqrt {tz}}^{2s+k}}},

la fórmula de canvi d'índex

\Gamma (\nu -\mu )J_{\nu }(z)=\Gamma (\mu +1)\sum _{n=0}{\frac {\Gamma (\nu -\mu +n)}{n!\Gamma (\nu +n+1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu -\mu +n}J_{\mu +n}(z),

el desenvolupament de Taylor (fórmula d'addició)

{\frac {J_{s}\left({\sqrt {z^{2}-2uz}}\right)}{\left({\sqrt {z^{2}-2uz}}\right)^{\pm s}}}=\sum _{k=0}{\frac {(\pm u)^{k}}{k!}}{\frac {J_{s\pm k}(z)}{z^{\pm s}}},

(cf.^[3]) i el desenvolupament de la integral de la funció de Bessel,

\int J_{s}(z)dz=2\sum _{k=0}J_{s+2k+1}(z),

són del mateix tipus.

Referències

↑ Abramowitz and Stegun, p. 363, 9.1.82 ff.
↑ Erdélyi et al. 1955 II.7.10.1, p.64
↑ Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan. «8.515.1.». A: Table of Integrals, Series, and Products (en anglès). 8. Academic Press, Inc., 2015, p. 944. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.

Vegeu també