Probit

Gràfic de la funció probit.

En teoria i estadística de probabilitats, la funció probit és la funció quantil associada a la distribució normal estàndard. Té aplicacions en anàlisi de dades i aprenentatge automàtic, en particular gràfics estadístics exploratoris i modelització de regressió especialitzada de variables de resposta binària.^[1]

Matemàticament, el probit és la inversa de la funció de distribució acumulada de la distribució normal estàndard, que es denota com ${\displaystyle \Phi (z)}$, de manera que el probit es defineix com ^[2]

${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)\quad {\text{per}}\quad p\in (0,1)}$.

En gran part a causa del teorema central del límit, la distribució normal estàndard té un paper fonamental en la teoria de la probabilitat i l'estadística. Si tenim en compte el fet conegut que la distribució normal estàndard situa el 95% de la probabilitat entre −1,96 i 1,96, i és simètrica al voltant de zero, es dedueix que

${\displaystyle \Phi (-1.96)=0.025=1-\Phi (1.96).\,\!}$

La funció probit proporciona el càlcul "invers", generant un valor d'una variable aleatòria normal estàndard, associada a una probabilitat acumulada especificada. Continuant amb l'exemple,^[3]

${\displaystyle \operatorname {probit} (0.025)=-1.96=-\operatorname {probit} (0.975)}$.

En general,

${\displaystyle \Phi (\operatorname {probit} (p))=p}$

i

${\displaystyle \operatorname {probit} (\Phi (z))=z.}$

La idea de la funció probit va ser publicada per Chester Ittner Bliss en un article de 1934 a Science sobre com tractar dades com el percentatge d'una plaga morta per un plaguicida.^[4] Bliss va proposar transformar el percentatge de morts en un " probability unit " (o "probit") que estava relacionat linealment amb la definició moderna (el va definir arbitràriament igual a 0 per a 0,0001 i 1 per a 0,9999)^[5]

La distribució normal CDF i la seva inversa no estan disponibles en forma tancada, i el càlcul requereix un ús acurat de procediments numèrics. No obstant això, les funcions estan àmpliament disponibles en programari per a estadístiques i modelització de probabilitats, i en fulls de càlcul. A Microsoft Excel, per exemple, la funció probit està disponible com a norm.s.inv(p). En entorns informàtics on hi ha disponibles implementacions numèriques de la funció d'error invers, la funció probit es pot obtenir com

${\displaystyle \operatorname {probit} (p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1).}$

Referències

1. Macsin, Andrei. «Probit Function» (en anglès). https://www.statisticshowto.com,[phone].+[Consulta: 6 gener 2023].
2. «Probit Analysis - an overview | ScienceDirect Topics» (en anglès). https://www.sciencedirect.com.+[Consulta: 6 gener 2023].
3. Steinbrecher, György; Shaw, William T. «Quantile mechanics» (en anglès). European Journal of Applied Mathematics, 19, 2, 4-2008, pàg. 87–112. DOI: 10.1017/S0956792508007341. ISSN: 1469-4425.
4. Bliss, C. I. Science, 79, 2037, 1934, pàg. 38–39. Bibcode: 1934Sci....79...38B. DOI: 10.1126/science.79.2037.38. JSTOR: 1659792. PMID: 17813446.
5. Bliss, 1934, p. 39.