Procés gamma

Dos camins de dos processos gamma diferents. són exemples de processos de gravamen. són subordinats, és a dir, no són decreixents.

També conegut com el procés (Moran-)Gamma, ^[1] el procés gamma és un procés aleatori estudiat en matemàtiques, estadística, teoria de probabilitats i estocàstica. El procés gamma és un procés estocàstic o aleatori que consisteix en distribucions gamma distribuïdes de manera independent on ${\displaystyle N(t)}$ representa el nombre d'ocurrències d'esdeveniments de 0 a temps ${\displaystyle t}$. La distribució gamma té un paràmetre d'escala ${\displaystyle \gamma }$ i paràmetre de forma ${\displaystyle \lambda }$, sovint escrit com ${\displaystyle \Gamma (\gamma ,\lambda )}$.^[2] Tots dos ${\displaystyle \gamma }$ i ${\displaystyle \lambda }$ ha de ser superior a 0. El procés gamma s'escriu sovint com ${\displaystyle \Gamma (t,\gamma ,\lambda )}$ on ${\displaystyle t}$ representa el temps des de 0. El procés és un procés de Lévy que augmenta el salt pur amb mesura d'intensitat ${\displaystyle \nu (x)=\gamma x^{-1}\exp(-\lambda x),}$ per tot positiu ${\displaystyle x}$. Així salts la mida dels quals es troba en l'interval ${\displaystyle [x,x+dx)}$ es produeix com un procés de Poisson amb intensitat ${\displaystyle \nu (x)\,dx.}$ El paràmetre ${\displaystyle \gamma }$ controla la velocitat d'arribada de salts i el paràmetre d'escala ${\displaystyle \lambda }$ controla inversament la mida del salt. Se suposa que el procés comença a partir d'un valor 0 a t=0 significat ${\displaystyle N(0)=0}$.^[3]

El procés gamma de vegades també es parametritza en termes de la mitjana (${\displaystyle \mu }$) i la variància (${\displaystyle v}$) de l'increment per unitat de temps, que equival a ${\displaystyle \gamma =\mu ^{2}/v}$ i ${\displaystyle \lambda =\mu /v}$.

La distribució marginal d'un procés gamma en el temps ${\displaystyle t}$ és una distribució gamma amb mitjana ${\displaystyle \gamma t/\lambda }$ i la variància ${\displaystyle \gamma t/\lambda ^{2}.}$

És a dir, la seva densitat ${\displaystyle f}$ està donat per ^[4]$${\displaystyle f(x;t,\gamma ,\lambda )={\frac {\lambda ^{\gamma t}}{\Gamma (\gamma t)}}x^{\gamma t\,-\,1}e^{-\lambda x}.}$$

Referències

1. Klenke, Achim, ed. (2008), The Poisson Point Process, Springer, pàg. 525–542, ISBN 978-1-84800-048-3, doi:10.1007/978-1-84800-048-3_24, <https://doi.org/10.1007/978-1-84800-048-3_24>. Consulta: 4 abril 2023
2. Klenke, Achim, ed. (2008), The Poisson Point Process, Springer, pàg. 525–542, ISBN 978-1-84800-048-3, doi:10.1007/978-1-84800-048-3_24, <https://doi.org/10.1007/978-1-84800-048-3_24>. Consulta: 4 abril 2023
3. «Gamma Process - an overview | ScienceDirect Topics» (en anglès). https://www.sciencedirect.com.+[Consulta: 16 abril 2023].
4. «stochastic processes - Simulation of Gamma process (distribution of increments)» (en anglès). https://quant.stackexchange.com.+[Consulta: 16 abril 2023].