Producte cartesià

Producte cartesià entre els conjunts A= (x,y,z) i B:(1,2,3)

En teoria de conjunts, el producte cartesià és un producte directe de conjunts. En particular, el producte cartesià de dos conjunts X i Y, expressat com X × Y, és el conjunt de tots els parells ordenats en els quals el primer component pertany a X i el segon a Y.^[1][2]

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X\;\wedge \;y\in Y\}.}$

El producte cartesià rep el seu nom de René Descartes, qui va donar origen a aquest concepte al formular la geometria analítica. Així, per exemple, el producte cartesià del conjunt dels tretze elements de la baralla anglesa {As, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} amb el conjunt dels quatre pals {♠, ♥, ♦, ♣} és el conjunt de les 52 cartes de la baralla {(As, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (As, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣)}.

Si els conjunts involucrats són conjunts finits, la cardinalitat (o nombre d'elements) del producte cartesià és el producte de les cardinalitats dels conjunts involucrats:^[3]

${\displaystyle card\ (X\times Y)=(card\ X)\cdot (card\ Y)}$

En l'exemple anterior, el nombre d'elements del producte era 52 = 13⋅4.

Generalització finita

El quadrat cartesià d'un conjunt X es defineix com ${\displaystyle X^{2}=X\times X}$. Un exemple d'això és l'espai euclidià de dues dimensions ℝ², on ℝ és el conjunt dels nombres reals; ℝ² és aleshores el conjunt de tots els punts (x, y) on x i y són tots dos reals.^[4]

Això es pot generalitzar en un producte cartesià n-ari sobre n conjunts ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$:

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{1}\in X_{1},\dots ,x_{n}\in X_{n}\}.}$

Aquest conjunt es pot identificar amb ${\displaystyle (X_{1}\times ...\times X_{n-1})\times X_{n}}$; és un conjunt de n-ples.

De manera anàloga al quadrat cartesià, es pot usar en potències majors: ℝ³ = ℝ × ℝ × ℝ és l'espai euclidià tridimensional.

Teoria de categories

En la teoria de categories, el producte cartesià no és més que el producte en la categoria de conjunts.

Referències

1. «Cartesian Product» (en anglès americà), 20-01-2021. [Consulta: 17 gener 2022].
2. pensante, El. «Ejemplos de operaciones de Productos cartesianos de conjuntos – El pensante» (en castellà). [Consulta: 17 gener 2022].
3. «✅ Producto Cartesiano y sus propiedades» (en espanyol europeu), 23-06-2018. [Consulta: 17 gener 2022].
4. «Cartesian Product - Free Math Worksheets» (en anglès americà). Arxivat de l'original el 2021-11-27. [Consulta: 17 gener 2022].

Vegeu també

• n-pla
• Parell ordenat
• Producte directe
• Relació binària
• Topologia producte