Propietat distributiva

Il·lustració de la propietat distributiva dels enters positius.

En matemàtiques, es diu que un operador ${\displaystyle \circ }$ té la propietat distributiva sobre un operador ${\displaystyle \star }$, o que ${\displaystyle \circ }$ és distributiu respecte de ${\displaystyle \star }$ en un conjunt E si per a tots x, y, z de E, es tenen les propietats següents :^[1][2][3][4]

${\displaystyle x\circ (y\star z)=(x\circ y)\star (x\circ z)}$ (distributiva a la dreta)

${\displaystyle (x\star y)\circ z=(x\circ z)\star (y\circ z)}$ (distributiva a l'esquerra)

En el conjunt R

Per exemple, en el conjunt ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dels reals, la multiplicació és distributiva respecte de la suma (és un dels axiomes de l'estructura d'anell):

${\displaystyle \forall \,(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}$

I igualment:^[5] ${\displaystyle (y+z)\times x=(y\times x)+(z\times x)}$

Del fet de passar del producte d'un nombre per la suma d'altres dos a la suma de dos productes se’n diu 'desenvolupar' l'expressió.

Si s'escriu la identitat en l'altre sentit, llavors se’n diu treure el factor comú:^[6][7][8]

${\displaystyle (a\times b)+(a\times c)=a\times (b+c)}$

Aquí s'ha tret el factor comú a.

Exemple numèric

${\displaystyle 2\times (5+3)=2\times 5+2\times 3\ (=16)}$

Referències

1. Grudemi, Editorial. «Propiedad distributiva - ¿Qué es?, multiplicación, división, ejercicios y más» (en castellà), 19-05-2022. [Consulta: 16 novembre 2022].
2. «Explicación de la propiedad distributiva (artículo)» (en castellà). [Consulta: 16 novembre 2022].
3. «distributiva, proprietà - Treccani» (en italià). [Consulta: 26 febrer 2024].
4. «Distributive law | Definition, Formula, & Facts | Britannica» (en anglès), 04-02-2024. [Consulta: 3 març 2024].
5. Distributive MathWorld
6. Westreicher, Guillermo. «Propiedad distributiva» (en castellà). [Consulta: 16 novembre 2022].
7. Uceda, Alfredo Calvo. «Ejercicios resueltos de la propiedad distributiva y de sacar factor común» (en castellà), 08-05-2017. [Consulta: 3 març 2024].
8. «Extraer o sacar factor común». [Consulta: 3 març 2024].

Vegeu també

• François-Joseph Servois
• Propietat commutativa
• Propietat associativa