Quadrigradient

En geometria diferencial, el quadrigradient (o 4-gradient) ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$ és l'anàleg de quadrivectors del gradient ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {\nabla }}}}$ del càlcul vectorial.^[1]

En la relativitat especial i en la mecànica quàntica, el gradient de quatre s'utilitza per definir les propietats i les relacions entre els diferents quatre vectors físics i tensors.^[2][3]

Notació

Aquest article utilitza la signatura mètrica (+ − − −).^[4]

SR i GR són abreviatures de relativitat especial i relativitat general, respectivament.

${\displaystyle c}$ indica la velocitat de la llum en el buit.

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$ és la mètrica espai-temps plana de SR.

Hi ha maneres alternatives d'escriure expressions de quatre vectors en física:

• Es pot utilitzar l'estil de quadrivectors: ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$, que normalment és més compacte i pot utilitzar la notació vectorial, (com el producte interior "punt"), sempre utilitzant majúscules en negreta per representar els quatre vectors, i en negreta en minúscules per representar vectors de 3 espais, p.ex. ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$ La majoria de les regles de vectors de 3 espais tenen anàlegs en matemàtiques de quatre vectors.
• Es pot utilitzar l'estil de càlcul de Ricci: ${\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$, que utilitza la notació d'índex tensor i és útil per a expressions més complicades, especialment aquelles que involucren tensors amb més d'un índex, com ara ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$.

L'índex del tensor llatí oscil·la en {1, 2, 3}, i representa un vector de 3 espais, p. ex. ${\displaystyle A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}}$.

L'índex tensor grec oscil·la en {0, 1, 2, 3}, i representa un vector de 4, p. ex. ${\displaystyle A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A} }$.

En la física SR, normalment s'utilitza una barreja concisa, p ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$, on ${\displaystyle a^{0}}$ representa el component temporal i ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$ representa els 3 components espacials.

Els tensors en SR solen ser 4D ${\displaystyle (m,n)}$ -tensors, amb ${\displaystyle m}$ índexs superiors i ${\displaystyle n}$ índexs més baixos, amb la 4D indicant 4 dimensions = el nombre de valors que pot prendre cada índex.

La contracció del tensor utilitzada en la mètrica de Minkowski pot anar a qualsevol costat (vegeu la notació d'Einstein):^[5] 56, 151–152, 158–161 

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$$

Definició

Els components covariants de 4 gradients escrits de manera compacta en quatre vectors i en notació de càlcul de Ricci són:^[6][7] 16 $${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }}$$

La coma a l'última part anterior ${\displaystyle {}_{,\mu }}$ implica la diferenciació parcial respecte a 4-posicions ${\displaystyle X^{\mu }}$.

Els components contravariants són:^[8] 16 

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$$

Símbols alternatius a ${\displaystyle \partial _{\alpha }}$ són ${\displaystyle \Box }$ i D (encara que ${\displaystyle \Box }$ també pot significar ${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}$ com a operador d'Alembert).

En GR, cal utilitzar el tensor mètric més general ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ i la derivada covariant del tensor ${\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}$ (no s'ha de confondre amb el vector 3-gradient ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ ).

La derivada covariant ${\displaystyle \nabla _{\nu }}$ incorpora el gradient de 4 ${\displaystyle \partial _{\nu }}$ més efectes de curvatura de l'espai-temps mitjançant els símbols de Christoffel ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

El principi d'equivalència forta es pot afirmar com:^[9] 184 

"Qualsevol llei física que es pugui expressar en notació tensor en SR té exactament la mateixa forma en un marc localment inercial d'un espai-temps corbat". Les comes de 4 gradients (,) a SR simplement es canvien a punt i coma derivats covariants (;) a GR, amb la connexió entre ambdues utilitzant símbols de Christoffel. Això es coneix en física de la relativitat com la "regla de la coma a punt i coma".

Així, per exemple, si ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$ en SR, doncs ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}$ en GR.

En un (1,0)-tensor o 4-vector això seria:^[10] 136–139 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\[0.1ex]V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}}$$En un (2,0)-tensor això seria: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}}$$

Referències

1. «Four-gradient explained» (en anglès). [Consulta: 11 setembre 2024].
2. «Is the Four-gradient of a Scalar Field a Four-Vector?» (en anglès). [Consulta: 11 setembre 2024].
3. «4.5: Gradient» (en anglès), 02-04-2020. [Consulta: 11 setembre 2024].
4. Weisstein, Eric W. «Gradient Four-Vector» (en anglès). [Consulta: 11 setembre 2024].
5. Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (en anglès). 2nd. Oxford Science Publications, 1991. ISBN 0-19-853952-5. 
6. The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2
7. Kane, Gordon. Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces. Updated. Addison-Wesley Publishing Co., 1994. ISBN 0-201-62460-5. 
8. Kane, Gordon. Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces (en anglès). Updated. Addison-Wesley Publishing Co., 1994. ISBN 0-201-62460-5. 
9. Shultz, Bernard F. A first course in general relativity (en anglès). 1st. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-27703-5. 
10. Shultz, Bernard F. A first course in general relativity (en anglès). 1st. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-27703-5.