Regla del quocient

A càlcul, la regla del quocient és un mètode per a calcular la derivada d'una funció que consisteix en el quocient d'altres dues per a les quals la derivada existeix.

Si la funció que es vol derivar, ${\displaystyle f(x)}$, es pot escriure com

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$

i ${\displaystyle h(x)}$ ≠ ${\displaystyle 0}$, llavors la regla diu que la derivada de ${\displaystyle g(x)/h(x)}$ és igual a:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}.}$

O de forma més precisa, per a tot ${\displaystyle x}$ que pertany a algun conjunt obert que conté el nombre ${\displaystyle a}$, amb ${\displaystyle h(a)}$ ≠ ${\displaystyle 0}$; i, tal que ${\displaystyle g'(a)}$ i ${\displaystyle h'(a)}$ existeixen totes dues; llavors, ${\displaystyle f'(a)}$ també existeix:

${\displaystyle f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{[h(a)]^{2}}}.}$

Exemples

La derivada de ${\displaystyle (4x-2)/(x^{2}+1)}$ és

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}}$	${\displaystyle ={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}}$
	${\displaystyle ={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}}$
	${\displaystyle ={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

A l'exemple de dalt, s'ha triat:

${\displaystyle g(x)=4x-2}$

${\displaystyle h(x)=x^{2}+1}$

De forma anàloga, la derivada de ${\displaystyle \sin(x)/x^{2}}$ (quan ${\displaystyle x}$ ≠ 0) és:

${\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}}$

Per a més informació referent a les derivades de les funcions trigonomètriques vegeu: derivada.

Un altre exemple és:

${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{3}}}}$

on ${\displaystyle g(x)=2x^{2}}$ i ${\displaystyle h(x)=x^{3}}$, i ${\displaystyle g'(x)=4x}$ i ${\displaystyle h'(x)=3x^{2}}$.

La derivada de ${\displaystyle f(x)}$ es determina tal com segueix:

${\displaystyle f'(x)\,}$	${\displaystyle ={\frac {\left(4x\cdot x^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot 3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}}}$
	${\displaystyle ={\frac {4x^{4}-6x^{4}}{x^{6}}}}$
	${\displaystyle ={\frac {-2x^{4}}{x^{6}}}}$
	${\displaystyle =-{\frac {2}{x^{2}}}}$

Demostracions

A partir de la definició de derivada

Suposant que ${\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}$

on ${\displaystyle h(x)}$≠ 0 i ${\displaystyle g}$ i ${\displaystyle h}$ són derivables.

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}}$

${\displaystyle ={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)h(\lim _{\Delta x\to 0}(x+\Delta x))}}}$

${\displaystyle ={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}$

A partir de la regla del producte

Suposant que ${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$

${\displaystyle g(x)=f(x)h(x){\mbox{ }}\,}$

${\displaystyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x){\mbox{ }}\,}$

La resta consisteix en aplicar les regles de l'àlgebra per a fer que ${\displaystyle f'(x)}$ sigui l'únic terme del cantó esquerre de l'equació i per a eliminar ${\displaystyle f(x)}$ del cantó dret de l'equació.

${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}}$

De forma alternativa, es pot aplicar la regla del producte directament, sense haver de fer ús de la substitució:

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}=g(x)[h(x)]^{-1}}$

I tot seguit aplicar la regla de la cadena per a derivar ${\displaystyle h(x)^{-1}}$:

${\displaystyle f'(x)=g'(x)[h(x)]^{-1}+g(x)(-1)[h(x)]^{-2}h'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}$

A partir de la regla de la cadena

Es considera la identitat

${\displaystyle {\frac {u}{v}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]}$

Llavors

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]}$

Porta a

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[2\left(u+{\frac {1}{v}}\right)\left({\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{v^{2}dx}}\right)-\;2\left(u-{\frac {1}{v}}\right)\left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{v^{2}dx}}\right)\right]}$

Operant s'obté

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[{\frac {4}{v}}{\frac {du}{dx}}-{\frac {4u}{v^{2}}}{\frac {dv}{dx}}\right]}$

Per acabar, es treu comú denominador i en queda el resultat esperat

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {\left[v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}\right]}{v^{2}}}}$

Emprant diferencials totals

Una demostració fins i tot més elegant és conseqüència de la llei referent als diferencials totals, que diu que el diferencial total,

${\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial z}}dz+...}$

De qualsevol funció a qualsevol conjunt de quantitats es pot descompondre de la següent forma, sense importat quines variables independents hi hagi a la funció (és a dir no importa quines variables es prenguin, ja que no poden expressar-se com a funcions d'altres variables). Això vol dir que, si N i D són totes dues funcions d'una variable independent x, i ${\displaystyle F=N(x)/D(x)}$, llavors han de ser veritat simultàniament que

(*) ${\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx}$

I que

${\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial N}}dN+{\frac {\partial F}{\partial D}}dD}$.

Però sabent que ${\displaystyle dN=N'(x)dx}$ i ${\displaystyle dD=D'(x)dx}$.

Substituint i fent aquests dos diferencials totals iguals a un tercer (donat que representen límits que es poden manipular), s'obté l'equació

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}dx={\frac {\partial F}{\partial N}}N'(x)dx+{\frac {\partial F}{\partial D}}D'(x)dx}$

La qual requereix que

(#) ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {\partial F}{\partial N}}N'(x)+{\frac {\partial F}{\partial D}}D'(x)}$.

Calculant les parcials de la dreta:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial N}}={\frac {\partial (N/D)}{\partial N}}={\frac {1}{D}}}$;

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial D}}={\frac {\partial (N/D)}{\partial D}}=-{\frac {N}{D^{2}}}}$.

Si se substitueixen dins de (#),

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {N'(x)}{D(x)}}-{\frac {N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {D(x)N'(x)}{D(x)^{2}}}-{\frac {N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}}}$

La qual dona la regla del quocient, donat que, per a (*),

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}={\frac {\partial F}{\partial x}}}$.

Aquesta demostració és forma més sistemàtica de demostrar el teorema en termes de límits, i per tant, és equivalent a la primera demostració – i fins i tot es redueix a ella si es fan les substitucions adequades als llocs adequats.

Vegeu també

• Regla del producte
• Regla de la cadena