Residu quadràtic

El residu quadràtic mòdul ${\displaystyle m}$ en matemàtica i dins la teoria de nombres és qualsevol enter ${\displaystyle r}$ coprimer amb ${\displaystyle m}$ per al que tingui solució la congruència:

${\displaystyle x^{2}\equiv r{\pmod {m}},}$

o, cosa que és el mateix, quan ${\displaystyle r}$ és un quadrat no nul mòdul ${\displaystyle m}$,^[1] i que per tant té una arrel quadrada en l'aritmètica de mòdul ${\displaystyle m}$. Als enters que no són congruents amb quadrats perfectes mòdul ${\displaystyle m}$ se'ls anomena no-residus quadràtics. En endavant els anomenaren com residus i no-residus.

Per exemple, quan el mòdul és 13, els residus són: 1, 3, 4, 9, 10 i 12, i els no residus 2, 5, 6, 7, 8, i 11. En general per a determinar quins són els residus quadràtics per a un mòdul donat, n'hi ha prou amb determinar les restes de dividir per ${\displaystyle m}$ als quadrats perfectes dels enters nombres primers amb ${\displaystyle m}$ i menor o iguals a ${\displaystyle m/2}$.

En el cas que es limiti l'estudi només als nombres primers és convenient usar el símbol de Legendre, i la seva extensió, el símbol de Jacobi.

Propietats

• El producte d'un residu i un no-residu és un no-residu
• Si ${\displaystyle p}$ és un nombre primer, la meitat de les ${\displaystyle p-1}$ classes residuals mòdul ${\displaystyle p}$ són residus i l'altra meitat no-residus.
• -1 és un residu de tots els nombres primers de la successió ${\displaystyle 4k+1}$ i és un no-residu de tots els primers de la successió ${\displaystyle 4k+3}$
• 2 és un residu de tots els primers de les successions ${\displaystyle 8k+1}$ i ${\displaystyle 8k+7}$ i és un no-residu de tots els altres primers imparells.
• Si ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ són primers imparells i cap d'ells pertany a la successió ${\displaystyle 4k+1}$ aleshores ${\displaystyle p}$ és un residu mòdul ${\displaystyle q}$ si i només si ${\displaystyle q}$ és un no-residu mòdul ${\displaystyle p}$. Si per altra banda qualsevol dels dos,o ambdós, pertanyen a la successió ${\displaystyle 4k+1}$ aleshores ${\displaystyle p}$ és un residu mòdul ${\displaystyle q}$ si i només si ${\displaystyle q}$ és un residu mòdul ${\displaystyle p}$.

Aquesta darrera propietat rep el nom de Llei de reciprocitat quadràtica, i és un dels teoremes més importants de la teoria elemental de nombres.

Problemes oberts i conjectures

Un dels problemes més importants sobre residus quadràtics és l'ordre de magnitud del mínim no-residu quadràtic positiu ${\displaystyle n(p)}$. El millor resultat conegut el va donar Burguess, assegura que l'expressió

${\displaystyle {\frac {n(p)}{p^{1/4{\sqrt {e}}}}}}$

està acotada per a tots els nombres primers, i es conjectura que el resultat podria seguir sent cert si es substitueix el denominador per ${\displaystyle (\log p)^{2}}$.

Extensions

De la mateixa manera es pot parlar de residus cúbics, residus biquadràtics i en general de residus potencials.

Referències

1. Gentile: Aritmética elemental, OEA ()1985

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Quadratic Residue» a MathWorld (en anglès).