Salsitxa de Wiener

Salsitxa de Wiener curta i gruixuda, de dues dimensions.

Salsitxa de Wiener llarga i prima, de tres dimensions.

En el camp de la probabilitat, la salsitxa de Wiener (en anglès Wiener sausage) és un camí aleatori, és a dir un traç determinat per un component d'atzar, donat prenent tots els punts dins d'una distància fixa del moviment brownià fins a un temps t. Es pot visualitzar com una salsitxa de radi fix la línia central de la qual és el moviment brownià.

La salsitxa de Wiener és un dels funcionals no-markovians més simples del moviment brownià. Té aplicacions en fenòmens estocàstics, inclosa la conducció tèrmica. Va ser descrita per Frank Spitzer l'any 1964,^[1] i utilitzada per Mark Kac i Joaquin Mazdak Luttinger per explicar els resultats d'un condensat de Bose–Einstein,^[2][3] amb la demostració publicada per M. D. Donsker i S. R. Srinivasa Varadhan (1975).^[4] Aquests darrers són els que van atorgar-li aquest nom en referència al matemàtic Norbert Wiener, per la seva relació amb el procés de Wiener; el nom també és un joc de paraules amb la salsitxa de Viena, ja que "Wiener" en alemany significa "vienès".

Descripció

La salsitxa de Wiener de radi δ i llargada t, ${\displaystyle W_{\delta }(t)}$, correspon al conjunt de valors de la variable d'atzar en els camins brownians b (en algun espai euclidià) definida ${\displaystyle W_{\delta }(t)(b)}$, és a dir, el conjunt de punts a una distància δ d'algun punt ${\displaystyle b(x)}$ del camí b, amb un valor x entre 0 i t, ambdós inclosos.

Volum

Hi ha molts estudis sobre el comportament del volum (mesura de Lebesgue) ${\displaystyle |W_{\delta }(t)|}$ de la salsitxa quan menor és el radi definit (δ→0); redefinint l'escala, és essencialment equivalent a determinar-ne el volum a mesura que es fa llarga, quan t tendeix a infinit.^[1]

Spitzer va mostrar que en tres dimensions el valor esperat del volum de la salsitxa és

${\displaystyle E(|W_{\delta }(t)|)=2\pi \delta t+4\delta ^{2}{\sqrt {2\pi t}}+4\pi \delta ^{3}/3.}$

En dimensions d majors que 3, el volum és asimptòtic a

${\displaystyle \delta ^{d-2}\pi ^{d/2}2t/\Gamma ((d-2)/2)}$

quan t tendeix a infinit.

En canvi, en una o dues dimensions la fórmula se substitueix per ${\displaystyle {\sqrt {8t/\pi }}}$ i per ${\displaystyle 2{\pi }t/\log(t)}$ respectivament.^[1]

Whitman, un estudiant d'Spitzer, va obtenir resultats similars per una generalització de les salsitxes, amb seccions creuades donats uns conjunts compactes més generals que les boles.^[5]

Referències

1. Spitzer, F. «Electrostatic capacity, heat flow and Brownian motion». Probability Theory and Related Fields, 3, 2, 1964, pàg. 110–121. DOI: 10.1007/BF00535970. S2CID: 198179345
2. Kac, M.; Luttinger, J. M. «Bose-Einstein condensation in the presence of impurities». J. Math. Phys., 14, 11, 1973, pàg. 1626–1628. Bibcode: 1973JMP....14.1626K. DOI: 10.1063/1.1666234. MR: 0342114
3. Kac, M.; Luttinger, J. M. «Bose-Einstein condensation in the presence of impurities. II». J. Math. Phys., 15, 2, 1974, pàg. 183–186. Bibcode: 1974JMP....15..183K. DOI: 10.1063/1.1666617. MR: 0342115
4. Donsker, M. D.; Varadhan, S. R. S. «Asymptotics for the Wiener sausage». Communications on Pure and Applied Mathematics, 28, 4, 1975, pàg. 525–565. DOI: 10.1002/cpa.3160280406.
5. Whitman, Walter William (1964), «Some Strong Laws for Random Walks and Brownian Motion», Tesi doctoral, Cornell U.

Bibliografia

• Hollander, F. (2001) [1994], "Wiener sausage", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Simon, Barry (2005), «Functional integration and quantum physics», Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-3582-3, MR 2105995 (Veure especialment el capítol 22)
• Spitzer, Frank (1976), «Principles of random walks», Graduate Texts in Mathematics, vol. 34, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, p. 40, MR 0171290 (Reimpressió de l'edició de 1964)
• Sznitman, Alain-Sol (1998), «Brownian motion, obstacles and random media», Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-11281-6, ISBN 3-540-64554-3, MR 1717054 Monografia avançada sobre la salsitxa de Wiener.