Sòlid de Johnson

La girobicúpula quadrada allargada (J37), és un sòlid de Johnson.
Aquest cub compost de 24 cares quadrades no és un sòlid de Johnson perquè no és estrictament convex (té angles diedres iguals a zero.
Aquest exemple a 24 triangles no és un sòlid de Johnson perquè és còncau.

En geometria, un sòlid de Johnson és un políedre estrictament convex tal que totes les seves cares són polígons regulars però que no és ni un sòlid platònic, ni un sòlid arquimedià, ni un prisma ni un antiprisma. No cal que cada cara sigui un polígon idèntic, o que els mateixos polígons es trobin al voltant de cada vèrtex. Un exemple de sòlid de Johnson és la piràmide de base quadrada amb costats triangulars equilàters (J1); té una cara quadrada i quatre cares triangulars.

Com que és un sòlid estrictament convex pel capbaix tres cares s'han de trobar a cada vèrtex i la suma dels seus angles ha de ser menor que 360 graus. Ja que tot polígon regular té angles superiors o iguals a 60 graus (cas del triangle equilàter és 60 graus i tots els altres és més), se'n dedueix que cinc cares el màxim que es poden trobar en un vèrtex qualsevol. La piràmide pentagonal (J₂) és un exemple que té un vèrtex de grau 5.

Encara que no existeixi restricció evident perquè un polígon regular qualsevol pugui ser una cara d'un sòlid de Johnson, es troba que les cares dels sòlids de Johnson tenen sempre 3, 4, 5, 6, 8 o 10 costats. És a dir no hi ha cap sòlid de Jonson que tingui una cara que sigui un polígon ni de 7 ni de 9 ni de més de 10 costats.

El 1966, Norman Johnson va publicar una llista que incloïa els 92 sòlids, i els va donar els seus noms i els seus nombres. No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrar que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls anota Jxx on xx és el nombre donat per Johnson.

Dels sòlids de Johnson, la girobicúpula quadrada allargada (J37) és l'únic que és de vèrtexs uniformes: incideixen quatre cares a cada vèrtex, i el seu arranjament és sempre el mateix: tres quadrats i un triangle.

Noms

[modifica]

Els noms es llisten davall i són força descriptius. Molts d'aquests sòlids es poden construir afegint piràmides, cúpules i rotondes sobre cares de sòlids platònics, sòlids arquimedians, de prismes o d'antiprismes.

  • El prefix Bi- vol dir que s'ajunten base sobre base dues còpies del sòlid en qüestió. Per a les cúpules i les rotondes, es poden ajuntar de forma que les cares es trobin (orto-) o no (giro-). En aquesta nomenclatura, un octàedre s'anomenaria una bipiràmide quadrada, un cuboctaèdre s'anomenaria una girobicúpula hexagonal i un icosidodécaèdre una girobirotonda decagonal.
  • Allargat vol dir que s'ha ajuntat un prisma a la base del sòlid en qüestió o entre les bases dels sòlids en qüestió. Un rombicuboctàedre s'anomenaria una ortobicúpula octogonal allargada.
  • Giroallargat significa que s'ha ajuntat un antiprisma a la base del sòlid en qüestió o entre les bases dels sòlids en qüestió. Un icosàedre s'anomenaria una bipiràmide pentagonal giroallargada.
  • Augmentat significa que s'ha ajuntat una piràmide o una cúpula a una cara del sòlid en qüestió.
  • Disminuït significa que s'ha tret una piràmide o una cúpula del sòlid en qüestió.
  • Gir significa que una cúpula sobre el sòlid en qüestió ha sofert una rotació tal que les diferents arestes coincideixen, com per a la diferència entre orto i giro bicúpules.

Les tres últimes operacions - augment, disminució i gir - es poden executar més d'una vegada sobre un sòlid prou gran. S'afegeix bi- al nom de l'operació per indicar que s'ha executat dues vegades. (Un sòlid bigirat té dues de les seves cúpules que han experimentat una rotació). S'afegeix tri- per indicar que s'ha executat tres vegades. (Un sòlid tridisminuit té tres de les seves piràmides o cúpules eliminades).

A vegades, bi- tot sol no és prou precís. S'ha de distingir entre un sòlid que té dues cares paral·leles alterades i un que té dues cares obliqües alterades. Quan les dues cares alterades són paral·leles, s'afegeix para- al nom de l'operació. (Un sòlid parabiaugmentat té dues cares paral·leles augmentades). Quan no ho són, s'afegeix meta- al nom de l'operació. (Un sòlid metabiaugmentat té dues cares obliqües augmentades).

Llista i noms dels políedres de Johnson

[modifica]

A les taules es fan servir les següents abreviatures:

V : nombre de vèrtexs,
A : nombre d'arestes,
C : nombre total de cares, on:
C₃ triangles,
C₄ quadrats,
C₅ Pentàgons,
C₆ hexàgons,
C₈ octògons,
C10 decàgons.

Prismatoides i rotondes

[modifica]

Els poden classificar en:

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C₃ C₄ C₅ C₆ C₈ C10 Simetria
1 Piràmide quadrada Desenvolupament de la piràmide quadrada Piràmide quadrada 5 8 5 4 1 C4v
2 Piràmide pentagonal Desenvolupament de la piràmide pentagonal Piràmide pentagonal 6 10 6 5 1 C5v
3 Cúpula triangular Desenvolupament de la cúpula triangular Cúpula triangular 9 15 8 4 3 1 C3v
4 Cúpula quadrada Desenvolupament de la cúpula quadrada Cúpula quadrada 12 20 10 4 5 1 C4v
5 Cúpula pentagonal Desenvolupament de la cúpula pentagonal Cúpula pentagonal 15 25 12 5 5 1 1 C5v
6 Rotonda pentagonal Desenvolupament de la rotonda pentagonal Rotonda pentagonal 20 35 17 10 6 1 C5v

Piràmides modificades i bipiràmides

[modifica]

Es poden classificar en:

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C₃ C₄ C₅ C₆ C₈ C10 Simetria
7 Piràmide triangular allargada Desenvolupament de la piràmide triangular allargada Piràmide triangular allargada 7 12 7 4 3 C3v
8 Piràmide quadrada allargada
o (cub augmentat)
o (prisma quadrat augmentat) 		Desenvolupament de la piràmide quadrada allargada Piràmide quadrada allargada 9 16 9 4 5 C4v
9 Piràmide pentagonal allargada Desenvolupament de la piràmide pentagonal allargada Piràmide pentagonal allargada 11 20 11 5 5 1 C5v
10 Piràmide quadrada giroallargada Desenvolupament de la piràmide quadrada giroallargada Piràmide quadrada giroallargada 9 20 13 12 1 C4v
11 Piràmide pentagonal giroallargada
o (icosàedre disminuït) 		Desenvolupament de la piràmide pentagonal giroallargada Piràmide pentagonal giroallargada 11 25 16 15 1 C5v
12 Bipiràmide triangular Desenvolupament de la bipiràmide triangular Bipiràmide triangular 5 9 6 6 D3h
13 Bipiràmide pentagonal Desenvolupament de la bipiràmide pentagonal Bipiràmide pentagonal 7 15 10 10 D5h
14 Bipiràmide triangular allargada Desenvolupament de la bipiràmide triangular allargada Bipiràmide triangular allargada 8 15 9 6 3 D3h
15 Bipiràmide quadrada allargada
o (biaugmentat cub)
o (biaugmentat prisma quadrat) 		Desenvolupament de la bipiràmide quadrada allargada Bipiràmide quadrada allargada 10 20 12 8 4 D4h
16 Bipiràmide pentagonal allargada Desenvolupament de la bipiràmide pentagonal allargada Bipiràmide pentagonal allargada 12 25 15 10 5 D5h
17 Bipiràmide quadrada giroallargada Desenvolupament de la bipiràmide quadrada giroallargada Bipiràmide quadrada giroallargada 10 24 16 16 D4d

Cúpules i rotondes modificades

[modifica]

Es poden classificar en:

  • cúpules allargades
  • rotondes allargades
  • birotondes allargades
  • coupolo-rotondes allargades
  • bicúpules allargades
  • cúpules giroallargades
  • rotondes giroallargades
  • bicúpules
  • birotondes
  • coupulo-rotondes
  • bicúpules giroallargades
  • birotondes giroallargades
  • coupolo-rotondes giroallargades
Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C₃ C₄ C₅ C₆ C₈ C10 Simetria
18 Cúpula triangular allargada Cúpula triangular allargada Cúpula triangular allargada 15 27 14 4 9 1 C3v
19 Cúpula quadrada allargada
(rombicudodecàedre disminuït) 		Cúpula quadrada allargada (rombicudodecàedre disminuït) Cúpula quadrada allargada (rombicudodecàedre disminuït) 20 36 18 4 13 1 C4v
20 Cúpula pentagonal allargada Cúpula pentagonal allargada Cúpula pentagonal allargada 25 45 22 5 15 1 1 C5v
21 Rotonda pentagonal allargada Rotonda pentagonal allargada Rotonda pentagonal allargada 30 55 27 10 10 6 1 C5v
22 Cúpula triangular giroallargada Cúpula triangular giroallargada Cúpula triangular giroallargada 15 33 20 16 3 1 C3v
23 Cúpula quadrada giroallargada Cúpula quadrada giroallargada Cúpula quadrada giroallargada 20 44 26 20 5 1 C4v
24 Cúpula pentagonal giroallargada Cúpula pentagonal giroallargada Cúpula pentagonal giroallargada 25 55 32 25 5 1 1 C5v
25 Rotonda pentagonal giroallargada Rotonda pentagonal giroallargada Rotonda pentagonal giroallargada 30 65 37 30 6 1 C5v
26 Girobiprisma triangular Girobiprisma triangular Girobiprisma triangular 8 14 8 4 4 D2d
27 Ortobicúpula triangular
(cubooctàedre girat) 		Ortobicúpula triangular (cubooctàedre girat) Ortobicúpula triangular (cubooctàedre girat) 12 24 14 8 6 D3h
28 Ortobicúpula quadrada Ortobicúpula quadrada Ortobicúpula quadrada 16 32 18 8 10 D4h
29 Girobicúpula quadrada Girobicúpula quadrada Girobicúpula quadrada 16 32 18 8 10 D4d
30 Ortobicúpula pentagonal Ortobicúpula pentagonal Ortobicúpula pentagonal 20 40 22 10 10 2 D5h
31 Girobicúpula pentagonal Girobicúpula pentagonal Girobicúpula pentagonal 20 40 22 10 10 2 D5d
32 Ortocupulorotonda pentagonal Ortocupulorotonda pentagonal Ortocupulorotonda pentagonal 25 50 27 15 5 7 C5v
33 Girocupulorotonda pentagonal Girocupulorotonda pentagonal Girocupulorotonda pentagonal 25 50 27 15 5 7 C5v
34 Ortobirotonda pentagonal
(icosidodecàedre girat) 		Ortobirotonda pentagonal (icosidodecàedre girat) Ortobirotonda pentagonal (icosidodecàedre girat) 30 60 32 20 12 D5h
35 Ortobicúpula triangular allargada Ortobicúpula triangular allargada Ortobicúpula triangular allargada 18 36 20 8 12 D3h
36 Girobicúpula triangular allargada Girobicúpula triangular allargada Girobicúpula triangular allargada 18 36 20 8 12 D3d
37 Girobicúpula quadrada allargada
(rombicudodecàedre girat) 		Girobicúpula quadrada allargada (rombicudodecàedre girat) Girobicúpula quadrada allargada (rombicudodecàedre girat) 24 48 26 8 18 D4d
38 Ortobicúpula pentagonal allargada Ortobicúpula pentagonal allargada Ortobicúpula pentagonal allargada 30 60 32 10 20 2 D5h
39 Girobicúplula pentagonal allargada Girobicúplula pentagonal allargada Girobicúplula pentagonal allargada 30 60 32 10 20 2 D5d
40 Ortocúpulorotonda pentagonal allargada Ortocúpulorotonda pentagonal allargada Ortocúpulorotonda pentagonal allargada 35 70 37 15 15 7 C5v
41 Girocúpulorotonda pentagonal allargada Girocúpulorotonda pentagonal allargada Girocúpulorotonda pentagonal allargada 35 70 37 15 15 7 C5v
42 Ortobirotonda pentagonal allargada Ortobirotonda pentagonal allargada Ortobirotonda pentagonal allargada 40 80 42 20 10 12 D5h
43 Girobirotonda pentagonal allargada Girobirotonda pentagonal allargada Girobirotonda pentagonal allargada 40 80 42 20 10 12 D5d
44 Bicúpula triangular giroallargada
(2 formes quirals) 		Bicúpula triangular giroallargada (2 formes quirals) Bicúpula triangular giroallargada (2 formes quirals) 18 42 26 20 6 D₃
45 Bicúpula quadrada giroallargada
(2 formes quirals) 		Bicúpula quadrada giroallargada (2 formes quirals) Bicúpula quadrada giroallargada (2 formes quirals) 24 56 34 24 10 D₄
46 Bicúpula pentagonal giroallargada
(2 formes quirals) 		Bicúpula pentagonal giroallargada (2 formes quirals) Bicúpula pentagonal giroallargada (2 formes quirals) 30 70 42 30 10 2 D₅
47 Cúpulorotonda pentagonal giroallargada
(2 formes quirals) 		Cúpulorotonda pentagonal giroallargada (2 formes quirals) Cúpulorotonda pentagonal giroallargada (2 formes quirals) 35 80 47 35 5 7 C₅
48 Birotonda pentagonal giroallargada
(2 formes quirals) 		Birotonda pentagonal giroallargada (2 formes quirals) Birotonda pentagonal giroallargada (2 formes quirals) 40 90 52 40 12 D₅

Prismes augmentats

[modifica]
Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C₃ C₄ C₅ C₆ C₈ C10 Symmetry
49 Prisma triangular augmentat Prisma triangular augmentat Prisma triangular augmentat 7 13 8 6 2 C2v
50 Prisma triangular biaugmentat Prisma triangular biaugmentat Prisma triangular biaugmentat 8 17 11 10 1 C2v
51 Prisma triangular triaugmentat Prisma triangular triaugmentat Prisma triangular triaugmentat 9 21 14 14 D3h
52 Prisma pentagonal augmentat Prisma pentagonal augmentat Prisma pentagonal augmentat 11 19 10 4 4 2 C2v
53 Prisma pentagonal biaugmantat Prisma pentagonal biaugmantat Prisma pentagonal biaugmantat 12 23 13 8 3 2 C2v
54 Prisma hexagonal augmentat Prisma hexagonal augmentat Prisma hexagonal augmentat 13 22 11 4 5 2 C2v
55 Prisma hexagonal parabiaugmentat Prisma hexagonal parabiaugmentat Prisma hexagonal parabiaugmentat 14 26 14 8 4 2 D2h
56 Prisma hexagonal metabiaugmantat Prisma hexagonal metabiaugmantat Prisma hexagonal metabiaugmantat 14 26 14 8 4 2 C2v
57 Prisma hexagonal triaugmentat Prisma hexagonal triaugmentat Prisma hexagonal triaugmentat 15 30 17 12 3 2 D3h

Sòlids platònics modificats

[modifica]
  • Dodecàedres augmentats
  • Icosàedres disminuïts
Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C₃ C₄ C₅ C₆ C₈ C10 Simetria
58 Dodecàedre augmentat Dodecàedre augmentat Dodecàedre augmentat 21 35 16 5 11 C5v
59 Dodecàedre parabiaugmentat Dodecàedre parabiaugmentat Dodecàedre parabiaugmentat 22 40 20 10 10 D5d
60 Dodecàedre metabiaugmentat Dodecàedre metabiaugmentat Dodecàedre metabiaugmentat 22 40 20 10 10 C2v
61 Dodecàedre triaugmentat Dodecàedre triaugmentat Dodecàedre triaugmentat 23 45 24 15 9 C3v
62 Icosàedre metabidismminuït Icosàedre metabidismminuït Icosàedre metabidisminuït 10 20 12 10 2 C2v
63 Icosàedre tridisminuït Icosàedre tridisminuït Icosàedre tridisminuït 9 15 8 5 3 C3v
64 Icosàedre tridisminuït augmentat Icosàedre tridisminuït augmentat Icosàedre tridisminuït augmentat 10 18 10 7 3 C3v

Sòlids arquimedians modificats

[modifica]

S'obtenen a partir de:

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C₃ C₄ C₅ C₆ C₈ C10 Simetria
65 Tetràedre truncat augmentat Tetràedre truncat augmentat Tetràedre truncat augmentat 15 27 14 8 3 3 C3v
66 Cub truncat augmentat Cub truncat augmentat Cub truncat augmentat 28 48 22 12 5 5 C4v
67 Cub truncat biaugmentat Cub truncat biaugmentat Cub truncat biaugmentat 32 60 30 16 10 4 D4h
68 Dodecàedre truncat augmentat Dodecàedre truncat augmentat Dodecàedre truncat augmentat 65 105 42 25 5 1 11 C5v
69 Dodecàedre truncat parabiaugmentat Dodecàedre truncat parabiaugmentat Dodecàedre truncat parabiaugmentat 70 120 52 30 10 2 10 D5d
70 Dodecàedre truncat metabiaugmentat Dodecàedre truncat metabiaugmentat Dodecàedre truncat metabiaugmentat 70 120 52 30 10 2 10 C2v
71 Dodecàedre truncat triaugmentat Dodecàedre truncat triaugmentat Dodecàedre truncat triaugmentat 75 135 62 35 15 3 9 C3v
72 Romboicosidodecàedre girat Romboicosidodecàedre girat Romboicosidodecàedre girat 60 120 62 20 30 12 C5v
73 Romboicosidodecàedre parabigirat Romboicosidodecàedre parabigirat Romboicosidodecàedre parabigirat 60 120 62 20 30 12 D5d
74 Romboicosidodecàedre metabigirat Romboicosidodecàedre metabigirat Romboicosidodecàedre metabigirat 60 120 62 20 30 12 C2v
75 Romboicosidodecàedre Trigirat Romboicosidodecàedre Trigirat Romboicosidodecàedre Trigirat 60 120 62 20 30 12 C3v
76 Romboicosidodecàedre disminuït Romboicosidodecàedre disminuït Romboicosidodecàedre disminuït 55 105 52 15 25 11 1 C5v
77 Romboicosidodecàedre disminuït paragirat Romboicosidodecàedre disminuït paragirat Romboicosidodecàedre disminuït paragirat 55 105 52 15 25 11 1 C5v
78 Romboicosidodecàedre disminuït metagirat Romboicosidodecàedre disminuït metagirat Romboicosidodecàedre disminuït metagirat 55 105 52 15 25 11 1 Cs
79 Romboicosidodecàedre disminuït bigyiat Romboicosidodecàedre disminuït bigyiat Romboicosidodecàedre disminuït bigyiat 55 105 52 15 25 11 1 Cs
80 Romboicosidodecàedre parabidisminuït Romboicosidodecàedre parabidisminuït Romboicosidodecàedre parabidisminuït 50 90 42 10 20 10 2 D5d
81 Romboicosidodecàedre metabidisminuït Romboicosidodecàedre metabidisminuït Romboicosidodecàedre metabidisminuït 50 90 42 10 20 10 2 C2v
82 Romboicosidodecàedre bidisminuït girat Romboicosidodecàedre bidisminuït girat Romboicosidodecàedre bidisminuït girat 50 90 42 10 20 10 2 Cs
83 Romboicosidodecàedre tridisminuït Romboicosidodecàedre tridisminuït Romboicosidodecàedre tridisminuït 45 75 32 5 15 9 3 C3v

Diversos

[modifica]
Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C₃ C₄ C₅ C₆ C₈ C10 Simetria
84 Bisfenoide xato
(Dodecàedre siamès) 		Bisfenoide xato (Dodecàedre siamès) Bisfenoide xato (Dodecàedre siamès) 8 18 12 12 D2d
85 Atiprisma quadrat xato Atiprisma quadrat xato Atiprisma quadrat xato 16 40 26 24 2 D4d
86 Esfenocorona Esfenocorona Esfenocorona 10 22 14 12 2 C2v
87 Esfenocorona augmentada Esfenocorona augmentada Esfenocorona augmentada 11 26 17 16 1 Cs
88 Esfenomegacorona Esfenomegacorona Esfenomegacorona 12 28 18 16 2 C2v
89 Hebesfenomegacorona Hebesfenomegacorona Hebesfenomegacorona 14 33 21 18 3 C2v
90 Disfenocíngol Disfenocíngol Disfenocíngol 16 38 24 20 4 D2d
91 Birotonda billunar Birotonda billunar Birotonda billunar 14 26 14 8 2 4 D2h
92 Hebesfenorotonda triangular Hebesfenorotonda triangular Hebesfenorotonda triangular 18 36 20 13 3 3 1 C3v

Referències

[modifica]
  • Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Conté l'enumeració original dels 92 sòlids i la conjectura que no n'hi ha d'altres.
  • Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
  • Eric W. Weisstein. Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament

Enllaços externs

[modifica]
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Sòlid de Johnson