Tangent

La tangent (del llatí tangens "que toca")^[1] és una recta que toca una corba en un punt,^[2] tot i que sense tallar-la (si, contràriament, ho fes, aleshores seria una secant).^[3][4]

Explicació

Sigui C una corba, i A un punt d'aquesta se suposa que A és un punt regular de la corba, és a dir, que no és un punt angulós: la corba no canvia sobtadament de direcció en A.

La tangent a C en A és la recta TA que passa per A i que té la mateixa direcció que C al voltant d'A.

La tangent és la posició límit de la recta (AM) (anomenada corda de la corba), quan M és un punt de C que s'aproxima indefinidament al punt A (M es mou successivament per M1, M2, M3, M4 ...)

Si C representa una funció f (no és el cas en la gràfica precedent), llavors la recta (AM) tindrà com a coeficient director (o pendent):

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$ (on a és l'abscissa d'A i x la de M).

Per tant, el pendent de la tangent TA serà:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$

És, per definició, f'(a), el nombre derivat de f en a.

L'equació de la tangent és Ta:

y = f '(a)·(x - a) + f(a)

La recta ortogonal a la tangent TA que passa pel punt (a,f(a)) s'anomena recta normal i la seva pendent, en un sistema de coordenades ortonormals, ve donada per:

${\displaystyle {\frac {-1}{f'(a)}}}$

La seva equació és:

y = - (x - a)/f '(a) + f(a)

Suposant, és clar, que f'(a) ≠ 0. Aquesta recta no intervé en l'estudi general de les funcions però si en problemes geomètrics relacionats amb les còniques, com per exemple, per poder determinar el punt focal d'una paràbola.

Notes i referències

1. «Tangent». Gran Diccionari de la Llengua Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
2. «Tangent». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
3. Leibniz, G., "Nova Methodus pro Maximis et Minimis", Acta Eruditorum, Oct. 1684.
4. «Euclid's Elements». [Consulta: 1r juny 2015].

Bibliografia

• Michiel Hazewinkel (ed.). Tangent_line&oldid=14413. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric W., «Recta tangente» a MathWorld (en anglès).
• J. Edwards. Differential Calculus. Londres: MacMillan and Co., 1892, p. 143 ff.. 

Enllaços externs

• Recta tangente a una circunferencia, web «El paraíso de las matemáticas»,