Teorema d'Abel

En anàlisi matemàtica, el teorema d'Abel és un resultat que assegura la convergència uniforme d'una sèrie de potències en un segment tancat.^[1][2][3]

Enunciat

Sigui ${\displaystyle \displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }}a_{n}x^{n}}$ una sèrie de potències convergent per a ${\displaystyle x=L\in \mathbb {R} }$. Aleshores, ${\displaystyle \displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }}a_{n}x^{n}}$ convergeix uniformement en el segment tancat ${\displaystyle [0,L]}$.

Demostració

Qualsevol punt del segment ${\displaystyle [0,L]}$ pot ser expressat com ${\displaystyle \lambda L}$ per a cert ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$.

Referències

1. «Abel, teorema di in "Enciclopedia della Matematica"» (en italià). [Consulta: 7 març 2022].
2. Abel's Convergence Theorem. MathWorld (anglès)
3. «Abel summability». [Consulta: 9 abril 2022].

Vegeu també

• Radi de convergència