Teorema de Le Cam

En teoria de la probabilitat, el teorema de Le Cam, que rep el nom de Lucien le Cam (1924 - 2000), anuncia el següent:^[1][2][3]

Suposi's que:

• X₁, ..., X_n són variables aleatòries independents, cadascuna d'elles amb una distribució de Bernoulli (és a dir, igual a 0 o a 1), no necessàriament distribuïdes idènticament.
• Pr(X_i = 1) = p_i per i = 1, 2, 3, ...
• ${\displaystyle \lambda _{n}=p_{1}+\cdots +p_{n}.}$
• ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.}$ (és a dir, ${\displaystyle S_{n}}$ segueix una distribució binomial de Poisson)

llavors:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}.}$

En altres paraules, la suma segueix aproximadament una distribució de Poisson i la inequació de dalt limita l'error d'aproximació en termes de la distància de variació total.

Establint p_i = λ_n/n, llavors es generalitza l'habitual teorema del límit de Poisson.

Quan ${\displaystyle \lambda _{n}}$ és gran, es pot tenir un llindar millor: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2(1\wedge {\frac {1}{\lambda }}_{n})\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}.}$ ^[4]

També es pot afeblir el requisit d'independència.^[4]

Referències

1. Le Cam, L. «An Approximation Theorem for the Poisson Binomial Distribution». Pacific Journal of Mathematics, 10, 4, 1960, pàg. 1181–1197. DOI: 10.2140/pjm.1960.10.1181 [Consulta: 13 maig 2009].
2. Le Cam, L. (1963). "On the Distribution of Sums of Independent Random Variables". Bernoulli, Bayes, Laplace: Proceedings of an International Research Seminar: 179–202, New York: Springer-Verlag 
3. Steele, J. M. «Le Cam's Inequality and Poisson Approximations». The American Mathematical Monthly, 101, 1, 1994, pàg. 48–54. DOI: 10.2307/2325124. JSTOR: 2325124.
4. den Hollander, Frank. Probability Theory: the Coupling Method. 

Enllaços externs

• Inequalitat de Le Cam, a MathWorld, Eric W. Weisstein, en anglès.