Treball virtual

Mecànica clàssica
Història Cronologia
Branques Estàtica · Dinàmica · Cinemàtica · Mecànica aplicada · Mecànica celeste · Mecànica dels medis continus · Mecànica estadística
Formulacions Mecànica newtoniana Mecànica analítica: Mecànica lagrangiana Mecànica hamiltoniana
Conceptes fonamentals Espai · Temps · Velocitat · Celeritat · Massa · Acceleració · Gravetat · Força · Impuls · Parell / Moment · Quantitat de moviment · Moment angular · Inèrcia · Moment d'inèrcia · Sistema de referència · Energia · Energia cinètica · Energia potencial · Treball mecànic · Treball virtual · Principi de d'Alembert
Temes principals Sòlid rígid · Dinàmica del sòlid rígid · Equacions d'Euler · Moviment · Lleis de Newton · Llei de la gravitació universal · Equacions del moviment · Sistema de referència inercial · Sistema de referència no inercial · Sistema de referència amb rotació · Força fictícia · Moviment rectilini · Desplaçament · Velocitat relativa · Fricció · Moviment harmònic simple · Oscil·lador harmònic · Vibració · Esmorteïment · Moviment de rotació · Moviment circular · Força centrípeta · Força centrífuga · Efecte de Coriolis · Pèndol · Acceleració angular · Velocitat angular · Freqüència angular · Desplaçament angular
Científics Galileo Galilei · Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d'Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre-Simon Laplace · William Rowan Hamilton · Siméon-Denis Poisson

El treball virtual d'un sistema és el treball resultant tant de les forces virtuals que actuen mitjançant un desplaçament real o de les forces reals que actuen mitjançant un desplaçament virtual. En aquest tema, el terme desplaçament es pot referir tant a translació com a rotació, i el terme força a una força o un moment. Quan les quantitats virtuals són variables independents llavors són anomenades arbitràries: que ho siguin és una característica essencial que permet treure importants conclusions a partir de relacions matemàtiques. Per exemple, en la relació matricial

${\displaystyle \mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q} }$,

si ${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}}$ és un verctor arbitrari, llavors es pot concloure que ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q} }$. D'aquesta manera, les quantitats arbitràries desapareixen dels resultats finals.

Principi del treball virtual per forces aplicades en equilibri estàtic

Es considera un sistema de partícules, i, en equilibri estàtic. La força total en cada partícula és^[1]

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}=0}$

Sumant el treball exercit per la força sobre cada partícula que actua mitjançant un desplaçament virtual arbitrari, ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$, del sistema porta a una expressió pel treball virtual que ha de ser zero, ja que les forces són zero:^[1]

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$.

L'equació vectorial original pot ser recuperada reconeixent que l'expressió del treball ha de funcionar per desplaçaments arbitraris virtuals. Separant les forces en forces aplicades, ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$, i forces de lligadura, ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$, dona^[1]

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$

Si els desplaçaments virtuals arbitraris s'assumeixen que són en direccions ortogonals a les forces de lligadura, aquestes no fan treball. Aquests desplaçaments es diu que són consistents amb les forces de lligadura.^[2] Això porta a la formulació del principi del treball virtual per forces aplicades en equilibri estàtic, que postula que les forces aplicades a un sistema estàtic no fan treball virtual:^[1]

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$

Això també es correspon al principi per sistemes accelerats, anomenat principi de d'Alembert, que forma la base teòrica per la mecànica lagrangiana.

Vegeu també

• Mecànica lagrangiana

Referències

1. Torby, Bruce. «Energy Methods». A: Advanced Dynamics for Engineers (en anglès). United States of America: CBS College Publishing, 1984 (HRW Series in Mechanical Engineering). ISBN 0-03-063366-4. 
2. Ing-Chang Jong. «Teaching Students Work and Virtual Work Method in Statics:A Guiding Strategy with Illustrative Examples» (PDF). Proceedings of the 2005 American Society for Engineering Education Annual Conference & Exposition. American Society for Engineering Education, 2005. Arxivat de l'original el 2008-08-28. [Consulta: 24 setembre 2007].

Bibliografia

• Bathe, K.J. "Finite Element Procedures", Prentice Hall, 1996. ISBN 0-13-301458-4
• Charlton, T.M. Energy Principles in Theory of Structures, Oxford University Press, 1973. ISBN 0-19-714102-1
• Dym, C. L. and I. H. Shames, Solid Mechanics: A Variational Approach, McGraw-Hill, 1973.
• Greenwood, Donald T. Classical Dynamics, Dover Publications Inc., 1977, ISBN 0-486-69690-1
• Hu, H. Variational Principles of Theory of Elasticity With Applications, Taylor & Francis, 1984. ISBN 0-677-31330-6
• Langhaar, H. L. Energy Methods in Applied Mechanics, Krieger, 1989.
• Reddy, J.N. Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics, John Wiley, 2002. ISBN 0-471-17985-X
• Shames, I. H. and Dym, C. L. Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics, Taylor & Francis, 1995, ISBN 0-89116-942-3
• Tauchert, T.R. Energy Principles in Structural Mechanics, McGraw-Hill, 1974. ISBN 0-07-062925-0
• Washizu, K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Pr, 1982. ISBN 0-08-026723-8
• Wunderlich, W. Mechanics of Structures: Variational and Computational Methods, CRC, 2002. ISBN 0-8493-0700-7